 Donc, c'est un travail joint de Blaine Lawson avec Riz Harvey et j'aimerais que... Donc, c'est important de voir ce que Blaine a besoin de nous dire, tout ensemble, oui ? Donc, ici est le plan de cette parole. Vous verrez que Blaine et Riz ont déjà découvert, peut-être 15 ans plus tard, que la théorie traditionnelle et la théorie pluripotentielle ont une grande range de généralisations. Et ces paroles, nous les mentionnons, et puis, immédiatement, on va au cas spécial, qui est la histoire de la Grande-Gène. Et le nouveau, le récent output est l'existence d'une analogue de la Grande-Gène de l'équation du Mont-Jean-Ampère. C'est le point. Donc, nous allons commencer avec ce genre de setting général. Donc, vous commencez avec un set compact G de P-planes en R-N. Et puis, vous considérez des formes quadratiques A, dont les restrictions sur toutes ces planes ont un trait non négatif. Donc, c'est un subset dans un set de formes quadratiques en R-N, dénoté par P-G. Et puis, imaginez que vous avez des fonctions de C2-smooths sur un subset ouvert de R-N. Vous pouvez dire que cette plurisobharmonique avec respect à ce subset G, si les secondes dérivatives belongent à ce set P-G à chaque point, c'est-à-dire que les restrictions de secondes dérivatives à chaque de ces planes P-planes W-N-G ont un trait non négatif. Donc, vous probablement... et le mot pour cela est G plurisobharmonique, parce que... C'est un exemple simple pour penser que N est 2. Oui. Donc, l'exemple va venir sur le next slide. C'est juste... c'est trop rapide, non? C'est trop rapide. Trop rapide. Donc, je vais aller d'abord, par exemple, et ensuite, je vais retourner aux définitions générales. Remindez-moi que j'ai oublié plusieurs pages. C'est un exemple simple. Ce set G consiste dans le whole space, juste un sub-space, le whole space itself. Donc, qu'est-ce que nous avons fait? Donc, ces matrices, ou les formes quadratiques, sont assurés à avoir un trait non négatif. Et maintenant, le trait de secondes derivatives, c'est l'euclide en laplacien. Et le request d'être PSH est que l'aplacien n'est pas négatif. Ce sont des fonctions subharmoniques. Et je vais retourner plus tard aux fonctions gharmoniques. Donc, le deuxième exemple, c'est quand le set G consiste dans toutes les formes quadratiques, tous les sub-spaces en 1 dimension. Donc, ce qu'il faut, des formes quadratiques, c'est que leur restriction aux formes non négatives. Donc, ce qui reflète les fonctions quand vous appliquez cela aux secondes derivatives de la fonction smooth. Et le prochain exemple, c'est que maintenant, notre Rn est en fait R2n et vu comme complexe vector space Cn. Et maintenant, le set G est un set de toutes les formes complexes. Et maintenant, ce qu'il faut, c'est que les secondes derivatives restrictées aux formes complexes donnent une trace non négative. En tout cas, ces fonctions, leurs restrictions aux formes complexes sont subharmoniques. Et ce sont des fonctions pluris-subharmoniques. Vous êtes heureux, Jerry? Ok. Donc, je vais retourner plus tard. Ok. Vous serez mon étudiant. Oui. Oui. Oui. Oui. Donc, ici, je n'ai pas oublié quelque chose. Donc, maintenant, ces fonctions générales pluris-subharmoniques, ce qui veut dire que ces fonctions restrictées aux formes complexes G-formes, c'est-à-dire, les formes qui sont dans la direction du set G sont subharmoniques. Et maintenant, vous pouvez généraliser des formes complexes à minimum G-manifold. Un G-manifold, c'est un submanifold qui, toutes les formes complexes sont dans ce set G. Pourquoi minimum? Parce que, quand vous restrictez une fonction pour un submanifold, alors, ses secondes dérivatives, les dérivatives couvertes, selon les submanifolds, ce n'est pas exactement les secondes dérivatives euclidiennes. Il y a un terme d'erreur qui intervient la seconde forme fondamentale. Ce que vous recouvrez est la fin de la curvature. Donc, pour un minimum de manifold, le h est equal à 0. Et donc, la condition de subharmoniques sur le G-manifold devient équivalente à notre définition précédente. D'accord? Et bien sûr, je trouve que les formes complexes sont spéciales de minimum G-manifold. Oui? Il y a un terme de manifold Il y a un terme de manifold sur le slide. Merci, c'est vrai. Il devrait être un terme ici. Merci. Maintenant, qu'est-ce qu'il y a des fonctions gharmoniques? Bien. Donc, la question ici est que la seconde derivation, plutôt que de belonging à ce grand set G-manifold appartient à son boundary. Donc, ça veut dire que pour chaque W en G le traitement de seconde derivation sur W n'est pas négatif, mais pour au moins une de ces W, il doit être 0. Donc, c'est la notion qu'il y a des fonctions gharmoniques. Donc, nous allons voir nos exemples de nouveau. Donc, pour l'exemple apparenant, avec seulement l'une de l'espace vector, nous avons des fonctions de contexte. Nous voyons que la gharmonicité signifie que la vanité de traitement est de l'espace vector. Donc, c'est la vanité de toute la placienne, juste des fonctions harmoniques. Un exemple plus facile, des lignes en Rn. Ensuite, la question pour être gharmonique est d'abord d'être G-plurisobharmonique. Donc, les secondes derivations sur toutes les lignes sont non négatives. Il y a au moins une ligne sur laquelle c'est 0. Et donc, ces non négatives métriques de secondes derivations sont déterminées, vont se vanifier. Parce que ce n'est pas invertible. Donc, et ceci est connu comme l'équation de l'exemple de Mont-Jean-Père. Et maintenant, l'exemple inspiré où G consiste dans les lignes complexes de la placienne gharmonique sont nécessaires de G-plurisobharmonique. Donc, maintenant, je vais aller un peu plus en détails. Donc, qu'est-ce que cela veut dire ? Alors, commençons d'abord de cette espèce, l'espace vectoriel de formes quadratiques sur R2n. Dans l'exemple de la structure complexe des formes quadratiques, il se termine que la partie de l'exemple de la placienne gharmonique n'a pas de rôle, il disparaît et que cette placienne gharmonique de la placienne gharmonique sur les lignes complexes appréciement d'assumer que la partie de l'exemple de la placienne est une formes quadratiques formes formes permises. Donc, sur la plurisobharmonique, formulez-nous ceci en faisant la partie de la permise de secondes dérivations et c'est une formes non négatives de la permise. Et maintenant, la harmonique signifie que cette forme vénéche à la ligne complexe non invertible. Donc, la vanité complexe ne finit pas. Et cela nous lead à l'équation complexe de l'exemple de la placienne gharmonique. Donc, quelque chose qu'il n'a pas été observé très longtemps est qu'il y a des circonstances naturelles où vous êtes donné une main de la configuration. La calibration, c'est une forme différente qui a la propriété que c'est une formes p et vous assumez que sur tous les planes p son restriction pour les planes p est moins que l'élément de volume sur les planes p. Et vous dites que ce n'est pas le cas pour les lignes complexes qui sont exactement calibrées par la Californie sur CN. Donc, cela donne rise à une notion de plurie harmonique ou plurie potentielle de la théorie attachée à chaque géométrie calibrée. Et comme nous l'avons entendu, il y a beaucoup d'entre eux. Mais cette lecture n'a pas suivi cette ligne de pensée, mais un peu différent qui nous arrivons maintenant. Donc, ici, nous sommes à 2N, qui nous révisons comme un espace simplectique d'exception d'une plane et nous allons le voir comme un espace complexe de CN. Un espace de Lagrangian c'est un espace middimensionnel un espace réel sur lequel la restriction de la Californie l'identifie. Equivalent, c'est un espace W qui est exactement orthogonal à sa image sous la structure complexe. Donc, c'est un espace de Lagrangian et maintenant nous pouvons définir cet espace cet état de formes quadratiques qui a la restriction de tous les subspaces Lagrangian qui ont un trait non négatif et cela donne rise à cette notion Lagrangian plurisobharmonique qui est un peu nouveau c'était nouveau pour moi jusqu'à cette semaine je ne sais pas comment beaucoup d'entre vous étaient conscients de cette théorie raised your hand ah raise your hand high enough please thank you right so this is a merely a recollection of the general definition in this special case so the functions we are interested in are C2 functions which are whose restrictions to all minimal Lagrangian submanifolds are subharmonique right so now C2 not a good idea you know that an important step in potential theory is to extend to a more wider classes of functions which are not a priority smooth so how come this is possible here is the reason so what is this p of g so this p of g again these are quadratic forms whose restrictions to a certain class category of planes have no negative trees so observe that is if a prime as a quadratic form is bigger than a meaning that the difference is a semi definite positive semi definite and if a is in p of g then a prime is in p of g these p of g's are convex cones which are kind of monotone in this sense and the second mechanism is that if two functions u and v satisfies u less than v and u at x equals v at x then this implies that the second derivatives of v are larger and the second derivatives of u in this sense of quadratic forms right so at x right so given a function u which is not smooth enough well you can at least consider all smooth functions which are larger and that are equal to u at a point x and then formulate the assumption that for all these functions they this convexity this positivity property and this provides us with a notion of plurisubharmonicity for a function which a priori would be merely continuous or even upper continuous so this is what is written on this slide so this idea to generalize une inequality or sub equation to a wider class of function is now classical this is called viscosity being non negative in viscosity sense so is this enough for this slide let you time to read it precisely ok maybe you wonder what happens a function u a no smooth function that gets a bit above like a absolute value function we all know that this is a convex function so no problem at this point there is no test available test function but this does not matter so this does not prevent the definition for making sense so now what is the profit we gain by enlarging this class of plurisubharmonic functions so by its very definition the notion is stable under taking the maximum of two functions furthermore it's closed under decreasing limits and closed under uniformes limits as well so as a consequence given a family of g plurisubharmonic functions provided that they are bounded uniformly locally I can take the supremum of these and this is again the g plurisubharmonic function so you see now that the iron method for producing harmonic functions maximal harmonic functions will generalize to these larger classes these other classes so it was really worth allowing a wider class of functions of course we will then have a proof existence of subharmonic functions and harmonic functions but with a priori very little regularity so a regularity problem will show up and that's a problem that will be addressed at the end of the of the slides right so these are observations what do we know as far as regularity just from scratch from the definition we observe that these Lagrangian subharmonic functions they are at least subharmonic in the classical sense indeed if since the any Lagrangian is orthogonal to its image by J which is again Lagrangian then Lagrangian subharmonic function will if second derivatives on w have no negative trace on jw have no negative trace but since they are orthogonal global trace is the sum of these two traces so it's non negative again so so that is the starting regularity we have but no not more without more effort what about harmonic functions so here is the definition which is non trivial and so take time to understand the notations that I will comment now maybe I keep this so here so int means interior so this tilde here means complement so imagine this p of lag is a euclidean so it's subset in some vector space I look that looks like this right so interior this is here inside p of g more generally then it's complement and then minus the opposite so this we look like this perform a central symmetry so this is what is denoted by p of g tilde and now by definition so this p of g tilde it's exactly the set of quadratic forms a such that there exist one plane from the set g on which the trace is non negative going to complement as replaced for all w there exist w and that's exactly how p harmonic functions were defined in the smooth case so let's take this as a definition of lag harmonic functions for a general continuous or upper semi continuous function you want that it satisfies this p lag condition and that it's opposite satisfies the p lag tilde condition in viscosity sense and so this is a coherent definition here we are now we are equipped I think with all notions no no no there are plenty more so convexity right maybe you've heard the word pseudo convexity in complex geometry well we need a similar concept so a pseudo convex means smooth domain in cn means that locally it's each point of the boundary there is a defining equation a function whose zero set is the boundary where the set is locally where u is non negative which is plurisobarmonique so let's take this as a definition in the general case so again this has a translation in terms of the second fundamental form of the boundary so it exactly means that the restriction of the second fundamental form to Lagrangian planes which are tangent to the boundary has a non negative trace so the trace now is not a number but a vector anyone that this vector points inward so that's the notion of Lag convex domains and now I think we have all definitions to state the first CRM in that theory a Lag convex domain then the homogeneous Dirichlet problem has a solution meaning you are given a continuous function on the boundary it has a unique Lag harmonic extension inside and I think you can guess what the proof is it will be a Perron type argument no whether Perron will give existence there must be an argument for uniqueness which I don't quite understand so why because well Blaine sent to me his paper really concerning this this week and I realized that this was a survey of 15 a series of 15 papers by Harvey and Larsen in the last 15 years so I gave up I apologize for this so now the new so this this solution of the Dirichlet problem perhaps is in paper number 2 or 3 in the series but now let's go to the contents of paper number 15 so which is so we'd like to write a differential equation that at least in a smooth case characterizes this Lagrangian harmonic functions up to now we have nearly we have given a geometric definition and it would be so nice to have an equation like like determinant of of Hessian determinant of second derivative and this exactly what we are aiming at so let's get back to the space of quadratic forms on R2N and again it splits thanks to the complex structure into her mission and skew her mission quadratic forms and the Hermitian ones you have the ones which are proportional to the metric and the others which have stress 0 so this is this Herm 0 so Hermitian forms on Cn with stress 0 and the first observation is that only two components in this decomposition in three terms will play a role indeed the stress 0 Hermitian part will disappear instantaneously so let's see this so imagine E is a Hermitian form of stress 0 it shows that the trace of its restrictions to all Lagrangian planes vanishes so let's W be such a plane EK an orthonormal basis of W trace of restriction of E to W that's the traditional sum EK and now let's use the fact that E is an isometry so the trick is on the top line is to introduce the J since its isometric change nothing and write this sum as a half of the sum of two terms which are equal so on the right I have simply plugged in this J and now Hermitian E commutes with J as an endomorphism so let's do the commutation and what I see now in the brackets it's the sum of E EK EK over an orthonormal basis of the whole space now W plus JW so that's the trace of E which vanished by assumption right so so Blaine wants to stress the parallel and the difference from the traditional holomorphic case in the holomorphic story the condition for plurisobarbonicity depends only on the symmetric part of the second derivative whereas in our Lagrangian story the trace free Hermitian part disappears and it's the other part the skew Hermitian part which plays a role but that's not such a surprise we know that complex in dimension four for instance complex lines and Lagrangian subspaces are really they don't want to they are kind of orthogonal right so this was the first step now let's go a bit deeper in this linear algebra so now we will for a while ignore the trace so the quadratic forms which are proportional to the metric and again under unitary group we have these three summons on the third one skew Hermitian matrices and quadratic forms so in terms of the symmetric operator it's a symmetric operator that anti commutes with the complex structure so it follows that this can be diagonalized and that the eigenvectors have a J action if E is an eigenvector for eigenvalue lambda then it's imaged by the J complex structure is an eigenvector again with eigenvalue minus lambda so eigenvalues come in pairs of opposite numbers so now let's denote by lambda one lambda and the non negative ones in this order and so we see from that the lowest possible sum of n of these eigenvalues one can make is precisely minus the sum of the lambda is as a consequence when the rest restrict B to some n dimensional subspace the trace will always be at least that number so now in general so we start with the quadratic form this will have a trace component a skew Hermitian component and we ignore the Hermitian component which we know will play no role so finally we were like in the previous slide simply added to the matrix B lambda I times the identity matrix excuse me trace of A divided by 2n times the identity matrix and so the trace of the restriction to a Lagrangian plane will be at least mu minus sum of lambda I where mu is the trace divided by 2 right so now we see that these expressions mu minus sum of lambda I are the ones which will relate to our plurisobarbon city condition so this what is written on the top so assuming that the trace of restrictions to Lagrangian subsplaces are non-negative is exactly assuming that this number where mu is the trace divided by 2 lambda 1 lambda n non-negative eigenvalues of the skew Hermitian part are non-negative the converse direction this is from the fact that the equality is achieved by an Lagrangian subspace and so this gives the idea of this is our differential equation or in equation except that it doesn't look like a differential equation yet so now let us form all these combinations of mu and lambda I and now you introduce all possible changes assigned changes and then multiply all these numbers why? because when doing this we get an expression which is polynomial in the eigenvalues and which is fully symmetric lambda 1 plus lambda n itself was symmetric only in the non-negative eigenvalues not all of them whereas once you introduce all these assigned changes and multiply what you obtain now is fully symmetric in all eigenvalues of B so this becomes polynomial in B as we know a polynomial expression symmetric in the eigenvalues and the morphism is a polynomial on the space of endomorphisms so here we are and we define this as the Lagrangian monjamper operator it's this polynomial or it's not yet an operator but it's a polynomial on the space of quadratic forms so that's it and now by getting back to our definition our pilag was amounted to require that the smallest of these numbers is non-negative so this polynomial has a zero set and the complement even the locus where the polynomial is positive has several connected components and requiring that all eigenvalues all these numbers in the product are non-negative or positive means that you're in the connected component that contains the identity matrix right and now it turns out that Lag harmonic functions are precisely those functions which are Lag Plurisobarmonic and such that this polynomial in the second derivatives vanishes and of course in the general setting of upper semi-continuous function we have to take these equations in the viscosity sense but now here we're really writing a differential operator in the classical sense still a bit mysterious Mr Chairman j'sais I'm over time now not yet ? well I think Blaine would be angry if I would have stopped here 😍 My fear of this kassity solution is you somehow at epsilon C'est la plassie, et je ne vois pas cela ici tout à l'heure. Ah, vous savez une autre description de la solution de l'hospitalité. Je dirais que vous avez dans la main l'extension de cet état. Mais je ne peux vous dire. Je vais transférer cette question à Blaine. Je l'ai promis pour le faire. Est-ce qu'il y a une notion de concavity sur MA ? Peut-être que l'answer à votre question arrive un peu plus tard. C'est qu'il y a un plus grand argument pour que je continue. Mais s'il vous plait, à un point, vous devez me arrêter. Je vais essayer d'être un peu plus rapide, ce qui est un petit. Par contre, en jouant avec des eigenes valeurs, j'aimerais voir une définition un peu plus intrinsique. Je dirais cela dans une phrase. Given qu'une formule quadratique de la mission SQ, elle peut définir sa valeur absolue, comme la valeur absolue de la maîtrise, la route square de sa maîtrise, la route non négative de sa maîtrise. Maintenant, mélangez-le. Alors, prenez la valeur absolue de B times J. Maintenant, c'est une maîtrise scémétrique. Ça définit une forme scémétrique de deux formes. Et maintenant, deux formes peuvent être viewed comme des formes extérieures qui sont isomorphiques à l'algebra de Clifford. Maintenant, vous pouvez laisser l'algebra de Clifford acte sur les spinners, deux à la représentation n dimensionnelle. Donc, notre formule quadratique définit un opérateur, l'endomorphisme des spinners. Maintenant, multiplié par I, complexe n° I, il y a une mu. C'est la moitié du traitement par la identité et le déterminant de cet endomorphisme. Et c'est exactement l'opérateur de monge en paire. Donc, la derivation de ce produit de la valeur eigenaise est plutôt straightforward. Mais c'est un moyen plus élégant de voir ce polynomial. C'est seulement le déterminant de la représentation de dimension 2 à la fin. Maintenant, peut-être que je vais le faire parce que tout est straightforward et vous devez m'y croire. Qu'est-ce que Blaine s'appelle un manifleur grand? C'est un manifleur simplectique avec la choisie d'une structure almost complexe qui est compatible dans ce sens et un déterminant dans ce sens. Donc, beaucoup vous vous souvenez de ce contexte dans lequel Gromov introduit ces types d'objets. Et Blaine dit que tout ce que j'ai dit jusqu'à maintenant s'étend à ce contexte. Vous n'avez plus besoin de remplacer ce que j'ai appelé la seconde derivation de la connexion Lévitivita de la métrique que vous obtenez par payer la structure simplectique et la structure complexe. Donc, ce que nous avons est une théorie sur Gromov manifleurs donc ce n'est pas exactement une géométrie simplectique et une liste avec la choisie d'une structure complexe. Maintenant, dans ce contexte il y a un problème d'hynomégénieuse que nous pouvons maintenant établir. Nous voulons prescrire les valeurs d'une fonction ensemble avec les valeurs d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean de la métrique. Il s'agit de l'idée qui est complètement nouvelle de moi, avant d'hier qu'il y ait plus de branches. Donc, vous vous souvenez que dans la définition d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean d'un grand-jean Il a dit que tous ces eigenvalues doivent être non négatifs. La deuxième chose dit que tous ces eigenvalues, mais peut-être les plus petites, sont non négatifs. Ceux-ci, et ainsi. Et il se trouve que le problème de l'homogénie a une solution respectueux à chaque notion de la fonction de l'homogénie pleurissabharmonique. Donc, même dans le set de l'homogénie classique, je n'étais pas conscient de ces notions, ce que je trouve fascinant. C'est vrai. Et le dernier slide est juste le début d'une théorie régulière pour ces fonctions. Donc, ce qui signifie que la fonction de l'homogénie commence avec une fonction U. Et maintenant, vous voulez comprendre son comportement à zéro. Et vous voulez analyser cette régularité par produire quelque sorte d'homogénie, comme Chef Chiger explique à nous, qu'on fait pour les manifs rémaniaux, ou pour les manifs minimaux. Donc, vous formez X times r, rA, un petit numéro positif. Et le statement que l'indicatif est n est que r2 minus n U of X r, pour n'importe une pleurissabharmonique, cela a des limites, comme r tends to zero. Donc, les fonctions de l'homogénie existent avec cette exponentie, n. Et maintenant, le deuxième step dans la théorie régularité est de montrer l'uniquité de les fonctions de l'homogénie. En fait, c'est un statement plus fort, parfois, que tous les fonctions de l'homogénie, qui sera globalement définie par les fonctions de Rn, sera multiples de certaines solutions fondamentales et elles se traduissent. Et ici, la solution fondamentale est vraiment familiale. Ici, nous sommes en R2n, et ce que vous reconnaissez est l'expression de la solution fondamentale de l'aplation de Rn, mais vous l'expérez par l'expression de Cn. Et maintenant, c'est ici que les fonctions de l'homogénie se finissent avec une série de questions. Donc, cette théorie régularité a juste commencé avec déjà des résultats de l'aplation. Et ici sont les questions que Blaine voulait mettre. C'est clairement un généralisme que nous savons dans le setting de l'homogénie. Donc, désolé d'être en train d'être très lent au début et très rapide à la fin. Et maintenant, vous pouvez essayer et poser des questions. Donc, question. Je suis relive. Donc, il y a une question que je vais transmettre à Blaine. Est-ce que l'approche de l'alternateur de l'homogénie que vous vous décrivez pour moi et je lui ai demandé. Et ici, il y a une autre question. Oui, je vais vous demander si vous pouvez changer ceci pour une autre question. Et si vous n'avez pas les maximaux principaux, vous avez des questions. Je vous répète une question. Oui. Je me souviens si vous avez un maximum de principaux principaux. Donc, cette première théorie régulière fonctionne dans un sens plus grand. Donc, le point de départ de l'alternateur de l'homogénie aujourd'hui, n°16, est des conditions sur les secondes dérivatifs. Donc, vous spécifiez un subset, un subset ouvert, des formes inquiétantes. Et ça peut être un connex ou pas. Et ça peut être un connex ou pas. Et c'est toujours, toujours, ce genre de monotonicité. Donc, les résultats de l'homogénie sont plus fortes quand le set est connexé. Même plus fortes quand le set a un symétrique invariant des subgroupes de votre seconde groupe. Donc, vous êtes d'accord qu'il y a une somme pour une génération plus grande que cette pièce de G que j'ai décrivée. Vous êtes d'accord C'est-à-dire qu'il y a une référence ? Vous avez mentionné le manuscript. C'est-à-dire que c'est un manuscript secret ou quelque chose dans l'archive ? Donc, sur le manuscript, sorry, c'est écrit submité. Et je l'ai regardé dans l'archive et je ne l'ai pas trouvé. Donc, c'est un état. Donc, le manuscript existe, c'est submité, mais c'est un secret. Mais peut-être vous voulez vraiment avoir ça ? Je ne vais pas savoir si je le regarde. Alors, ok, je vais vous montrer et vous décidez. Je peux dire que je peux écrire. Ah oui, oui, bien sûr, oui. J'ai une question. Peut-être que c'est content dans la question 2. Oui. C'est-à-dire que je faisais avec des domaines de stein. C'est-à-dire un domaine compact complexe avec des banderies qui sont définies par des fonctions. Des fonctions, oui. Et il y a des dynamismes sur les banderies. C'est très important. Parce que les banderies ont un contact magnifique. Et est-ce qu'il y a un analog de cette photo dans le cas du lag ? Categorie. Il y a des dynamismes associés. Alors, apparemment, comme vous l'avez pointé, c'est probablement ce que Blaine a dans la tête avec cette question. Il y a peut-être une différence substantially entre le cas holomorphique et ce cas-là. Il y a deux notions dans les papiers du lag harmonique et du lag pluriharmonique. Et apparemment, elles diffèrent. Ou les g-harmoniques et les g-pluriharmoniques ne sont pas toujours les mêmes. C'est quelque chose que je ne pouvais pas sortir de ce que j'ai réveillé jusqu'à maintenant. Parce que je ne l'ai pas réveillé beaucoup. Donc, il y a peut-être une pièce là-bas. Donc, encore une question que je vais transmettre à Blaine. Et ensuite, il répond directement à vous.