 Seguimos con el último vídeo de la parte teoría del módulo y vamos a presentar unos subespacios asociados a las aplicaciones lineales. El núcleo y la imagen. Os recordamos la definición de la aplicación lineal. F es una aplicación lineal si se satisface la propiedad de linealidad. Y ahora definimos una aplicación lineal de R2 a R3. Nos preguntamos cuáles son los vectores W de R2 que admiten que son imágenes de algún vector V por F. Pues si W es igual a F de V entonces existen alfa beta reales tal que W es igual al vector alfa más beta alfa menos beta cero. En otras palabras debe ser que el vector W pertenece al plano definido por z igual a cero. Por otro lado y considerando la aplicación siguiente nos preguntamos qué podemos decir de los vectores cuyas imágenes son iguales al elemento neutro del conjunto. Deducimos que si V es igual alfa beta y que si F de V es igual al elemento neutro entonces V pertenece al conjunto definido por la línea X igual a Y griega. Ahora vamos a definir formalmente los dos conjuntos anteriores para cualquier aplicación. Se a F una aplicación lineal y primero definimos el núcleo de F. El núcleo de F que corresponde a un subconjunto de V consiste en los vectores de V tal que sus imágenes por F son iguales al elemento neutro de V doble. La razón por esta anotación care aquí es que el núcleo en inglés se llama kernel. Hacemos un dibujito para aclarar todo eso. Aquí tenemos los espacios V y W con sus elementos neutros y también hay una aplicación que transforma un espacio en el otro. El núcleo de F es el subconjunto de V tal que F transforma cada elemento, cada vector de este subconjunto en el elemento neutro de V doble. Seguimos con el otro conjunto la imagen de F. La imagen de F es el subconjunto del espacio V doble tal que cada vector en este subconjunto es una imagen por F de algún vector en V. Un dibujito de nuevo para para ilustrar. Definimos los espacios V y W con la aplicación F. El imagen de F corresponde al subconjunto de V doble tal que todas las imágenes de los vectores de V por F pertenecen a este subconjunto. Ejemplos, definimos la aplicación lineal siguiente y intentamos de hallar el núcleo. Si F de X y es igual al elemento neutro a cero cero se puede deducir que en este caso debe ser que X es igual a menos y griega. Y así deducimos que el núcleo de F corresponde al espacio generado por el vector 1 menos 1. Por otro lado, si Alfa Beta pertenece a la imagen de F, entonces existe un vector XY tal que la imagen de este vector por F es igual a Alfa Beta. Así obtenemos un sistema lineal donde las desconocidas son Alfa y Beta. Resolvemos el sistema con Gauss y deducimos que Alfa Beta pertenece a la imagen de F si y solo si Alfa es igual a Beta. Ejemplo siguiente, definimos la aplicación lineal que corresponde a una simetría axial. Para calcular el núcleo supongamos que la imagen del vector X y por F es el elemento neutro y deducimos que X y debe ser igual al elemento neutro, al elemento cero cero. Entonces el núcleo de F solo tiene un elemento neutro. Luego suponemos que Alfa Beta pertenece a la imagen de Y y intentamos de hallar un vector XY tal que su imagen es igual a Alfa Beta. En efecto la imagen de Alfa Beta de Beta Alfa es igual a Alfa Beta y concluimos que la imagen de F corresponde a todo el espacio. Último ejemplo, sea F la aplicación siguiente y queremos hallar el núcleo y la imagen de F. Asumimos que la imagen de XY por F es igual al elemento neutro a cero cero cero y deducimos que debe ser que el vector XY es igual al elemento neutro. Luego suponemos que Alfa Beta gama pertenece a la imagen, entonces existe X y en F2 tal que la imagen del vector XY por F es igual al vector Alfa Beta gama. Así obtenemos un sistema lineal donde X y Y son las desconocidas y ya que F2 solo tiene dos elementos sustituimos X y por cero y uno, probamos todas las combinaciones y deducimos la imagen de F.