 A continuación, vamos a dar la definición de espacio vectorial. Notamos que hasta ahora solo el único espacio vectorial que hemos visto es el plano real. Os recordamos los ingredientes del plano real. Estos son un cuerpo, los números reales, un conjunto, el plano real, dos operaciones, la suma y la multiplicación, la multiplicación escalar y también las ocho propiedades que se cumplen, que hemos visto antes. Seguimos con la definición. Se A, V, un conjunto y K, un cuerpo. Los elementos del conjunto se llaman vectores y los del cuerpo escalares. Además, suponemos que tenemos dos operaciones que llamamos suma y multiplicación escalar, tal que la suma toma dos vectores y da un vector y la multiplicación toma un escalar y un vector y da un vector. Se dice que la tres tupla V con las dos operaciones es un espacio vectorial sobre el cuerpo K si se satisfacen las ocho propiedades siguientes, que corresponden a las ocho que vimos antes. La asociatividad no hace falta donde ponemos los paréntesis cuando sumamos, la conmutatividad, el orden de la suma no influye el resultado, la existencia del elemento neutro del conjunto, existe un vector que de momento notamos cero con una flecha, tal que la suma de este elemento con cualquier vector da el mismo vector. La existencia de los inversos para cualquier vector U la suma de menos U con U da el elemento neutro, la primera propiedad distributiva, la segunda propiedad distributiva, la compatibilidad y por fin el hecho de que multiplicar un vector por el elemento neutro del cuerpo, el número 1 da el mismo vector. Seguimos con un teorema que nos permite de construir varios espacios vectoriales, sea K un cuerpo y consideramos el conjunto KN, lo que corresponde al producto cartesiano de K con sí mismo N veces. Es decir, el conjunto de N tuplas tal que cada coordenada pertenece al cuerpo K. Además definimos las dos operaciones siguientes que corresponden a la suma y la multiplicación escalar, notamos que son las mismas que las operaciones que hemos definido para el plano real y entonces el teorema dice que KN junto con las dos operaciones es un espacio vectorial sobre K. Para demostrar el teorema hay que comprobar las propiedades. No vamos a hacer la demostración que es bastante sencilla y no hay ninguna dificultad pero es bastante larga y nos tomará mucho espacio. Entonces, seguimos con una cuestión en relación con el teorema. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son espacios vectoriales utilizando el teorema anterior? Os damos un momento. Espero que hayáis visto que sólo si el conjunto subyacente es un cuerpo se puede deducir que el conjunto en cuestión es un espacio vectorial. Entonces los dos conjuntos formados por los naturales y los enteros no son espacios vectoriales al menos no se puede deducir a partir del teorema si son espacios vectoriales o no porque los naturales y los enteros no tienen estructura de cuerpo.