 Bon, donc je vais commencer. Donc, comme j'ai écrit aujourd'hui, c'est le dernier de la série des trois exposés qui sera consacré à exposer quelques questions qui se posent dans l'état actuel de développement du travail dont j'ai exposé une partie qui est due à Olivia Carabello en quasi totalité. Et la deuxième partie, donc intitulée à la recherche de topos motivique, est pour but d'introduire aux textes programmatiques motiviques d'opposites qui signèvent par Olivia toute seule. Donc, ce texte est beaucoup plus sophistiqué. D'abord, il s'agit d'un texte programmatique, c'est-à-dire de proposer un certain cadre pour penser les relations entre théories comme logique différentes. Donc, ce texte est beaucoup plus sophistiqué que ce que j'ai présenté, le travail sur la construction de nourrie. Et il s'appuie en fait sur un bon nombre des travaux antérieurs d'Olivia, en particulier les trois dont j'ai écrit les titres au tableau, sur la construction de Fricé en théorie des modèles, sur la théorie de Galois et puis un article vraiment long et difficile qui s'appelle Extension of Flag Functors and Theories of Precive Type et qui en fait va être intégré à un livre qui s'appelle Laticies of Theories qui va paraître Oxford University Press. Et puis, après, je vais raconter quelque chose de tout à fait différent, donc l'introduction à cet article. Donc, simplement, juste avant la pause, donc je vais revenir à ce que j'avais dit en introduction au premier exposé, à savoir que si, disons que cette théorie des topos classifiants et des catégories syntactiques, qui a servi à réinterpréter la construction de nourrie, donc en quelque sorte constitutivement, on peut l'avoir comme une théorie des relations entre théories et donc c'est d'ailleurs la raison pour laquelle j'ai été intéressé dès le départ là-dedans, donc à la fois pour la problématique des motifs et pour la problématique de l'anglante. Mais vous voyez, donc c'est une théorie qui est extrêmement générale puisque cette construction des topos classifiants et des catégories syntactiques s'applique à n'importe quelle théorie du premier ordre, donc c'est d'une généralité extrême. Alors la manière dont Olivia procédait depuis des années qu'elle travaille là-dessus, c'est de développer d'une part la théorie générale des topos classifiants et donc des équivalences de Morita quand on a deux théories qui ont des topos classifiants équivalents et donc développer la théorie générale à la confrontant à des diverses situations concrètes dans les mathématiques avec l'idée que chaque fois qu'on confronte la théorie générale à des situations concrètes, bon d'abord on peut peut-être obtenir des résultats nouveaux et puis surtout et d'autre part cette confrontation amène à développer la théorie générale par confrontation avec quelque chose de concret, mais du fait que la théorie générale ensuite on va pouvoir l'utiliser dans d'autres questions particulières des mathématiques. Donc là on est intéressé à la problématique des motifs, c'est-à-dire la classification de théorie homologique, je vais dire de manière plus précise ce qu'on recherche tout à l'heure, mais donc pour ça on va pouvoir proposer un certain cadre général que je vais présenter, qu'elle s'appelle le cadre des topos atomiques à deux valeurs qui est inspiré, enfin qui est tiré en fait de la confrontation avec d'autres situations mathématiques concrètes, en particulier ici en fait l'article plus important c'est le premier qui est un article court qui fait 20 pages, donc la construction de Fraisée c'est une construction en théorie des modèles qui date de très longtemps, donc Olivia réinterprétait en termes de topos et ce qu'il s'avère c'est que cette construction là réinterprétait en termes de topos en fait devient en quelque sorte une seule et même théorie avec l'interprétation en termes de topos ou la généralisation en termes de topos de la théorie des catégories galoisiennes de Grotendik et quand on fait fusionner ces deux choses donc on obtient une théorie plus large et bien en particulier ça permet d'essayer de classifier également des structures linéaires comme on veut en général, comme on veut quand on s'intéresse à la question des motifs, donc ça veut dire que dans le contexte que je vais présenter il y a plus la distinction par exemple entre catégorie galoisienne et catégorie tanakienne, c'est à dire entre objet linéaire et objet non linéaire, donc en fait on a une seule et même théorie qui permet d'essayer de classifier aussi des structures linéaires, donc ce que je vais présenter c'est une sorte d'approche, donc de la question des motifs et des relations entre théorie comologique qui est alternative au formalisme tanakien, voilà donc je propose que ceci étant dit on fasse une pause de 5 minutes, voilà donc le paragraphe 2, donc ici j'ai écrit un énoncé, pour le moment c'est du chinois, simplement ça sera le théorème central sur lequel est fondé toute l'approche, donc c'est un théorème qui est tiré de cet article sur la construction de Freicet et donc tout à l'heure je vais expliquer le sens de ce théorème et pourquoi il peut être intéressant pour nous, alors donc comme tout à l'heure on a un corps de base, K, un grand K qui est choisi une fois pour toutes et ce corps de base sert à définir un carquois D de schéma de type fini sur K, bon alors en général dans les objets de D, il y a une part géométrique, une part d'indice, donc la part géométrique ça va être des schémas ou des diagrammes de schéma de type fini sur K et la part d'indice ça peut être bon par exemple un indice pour désigner le degré des groupes d'homologie ou de comologie qu'on considère, un autre indice pour indiquer la torsion, voilà donc tout à l'heure j'avais voulu faire l'économie de ça et probablement ça c'était une erreur donc voilà on a un tel carquois donc alors bon un exemple de carquois possible c'est le carquois de Norie, exemple le carquois de Norie que j'avais présenté dans le premier exposé donc le carquois de Norie est constitué des pertes de schéma XY, enfin plutôt Y et X, Y a sous schéma fermé de X donc et puis il y a en plus un indice qui est l'indice du groupe d'homologie qu'on considère donc c'est un exemple un autre exemple c'est bien sûr les catégoriques de motif mix que j'ai introduite donc la catégorie des motifs mixtes effectifs à coefficient d'encu ou bien la catégorie des motifs mixtes donc où on a inversé la torsorisation par le motif de l'Effschedts, voilà donc c'est des exemples de carquois qu'on peut prendre donc bon ici j'ai pas le temps d'en parler mais je signale simplement ça c'est que dans la définition de la catégorie de Wojcowski donc bon c'est une catégorie triangulée donc dans laquelle toute flèche se complète en un triangle donc mais les coefficients sont fixées. Or nous on va s'intéresser à des théories comologiques qui ont des corps de coefficients naturelles variables par exemple la comologie éladique, la coefficient d'enquiel ou QL bar, la comologie pédique, la comologie de bétis donc pour cette raison on peut être amené en fait on va être amené à faire varier les coefficients et donc pour cette raison on peut essayer d'y avoir une question qui se pose à un moment et de fabriquer une catégorie triangulée donc linéaire mais linéaire à coefficient dans un corps qui lui-même peut varier donc en fait donc ceci est possible donc ici je le signale simplement ça sera c'est dans les notes écrites donc c'est la définition 10 donc c'est un objet que dans les notes je note c'est infini qui s'appelle la... enfin qu'Olivia a construit qu'elle appelle la catégorie triangulée syntactique donc c'est une construction qui ressemble un peu à celle des complexes mais en s'autorisant des coefficients des corps de coefficients qui est variable donc c'est disons c'est un peu un à côté de la ligne de pensée générale donc je vais pas parler je donne pas la définition simplement je signale qu'il y a un autre objet ici qui est intéressant et qui en fait pour la question à laquelle je vais arriver à la fin de l'exposé cet objet là paraît particulièrement intéressant en vue de cette question donc simplement je le signale je signale l'existence de cette construction qui est vraiment une construction de logique et de catégorie syntactique alors donc on a fixé un tel D et maintenant on s'intéresse enfin le ce qu'on voudrait c'est classifier les représentations de ce D donc ça veut dire voilà une représentation d'un carquois si c'est une catégorie bon on va bien sûr demander que c'est functoriel si c'est une catégorie triangulée on va demander qu'en plus ça respecte en fait ça transforme les triangles dans des suites exactes longues et alors ici cas c'est un corps de coefficient de caractéristiques zéro mais disons pour nous un problème ça va être de refisager de pouvoir faire varier ce corps de coefficient donc on va voir un peu plus loin comment on peut essayer de faire ça et voilà donc on voudrait classifier les représentations qu'ils sont cohomologiques mais en un sens qu'il s'agit de préciser par exemple si on a une représentation la catégorie dérivée de de voivotsky qu'est ce que ça veut dire que cette représentation est homologique donc alors concrètement ça veut dire quoi ça veut dire qu'on cherche les choses suivantes on cherche d'abord une théorie t alors en fait on va chercher une théorie géométrique du premier ordre c'est à dire le type de théorie qui ont un topos classifiant et ce qu'on voudrait c'est que les actions de cette théorie les actions de thé justement caractérisent ou le fait d'être homologique le fait pour une représentation d'être homologique alors pour le moment on sait pas la question c'est quelles actions faut-il mettre pour que ça une représentation qui vérifie ses actions mérite le nom de homologique donc pour le moment la seule contrainte qu'on peut mettre c'est que ces actions doivent être vérifiées par les foncteurs homologiques classiques c'est à dire bétis elle a dit que p a dit que si on est en caractéristique p homologique crystalline ou rigide voilà donc pour le moment donc encore une fois là on n'a pas du tout défini de théorie simplement ce qu'on disons une contrainte qu'on a sur cette théorie c'est que tous ses actions soient vérifiées par les foncteurs homologiques classiques bon donc on on cherche cette théorie on cherche aussi bien sûr son son topos classifiant on s'intéresse à son topos classifiant alors si les foncteurs homologiques classiques vérifient les actions de la théorie ça va impliquer qu'on peut les voir comme des points du topos classifiant puisque les points du topos classifiant s'identifient par définition du topos classifiant il s'identifie au modèle en sembliste de la théorie non j'ai pas donné non non j'ai simplement signalé qu'il ya une définition qui se trouvera dans les notes écrites et disons qui est une définition enfin tout à fait non standard vraiment disons qui utilisent le langage de la logique et qui permet de faire varier les coefficients c'est à dire il y a une certaine analogie formelle avec la construction de la catégorie des complexes à partir des chemins ce que j'ai rappelé tout à l'heure mais en plus on s'autorise des coefficients variables voilà plutôt que de les fixer donc là j'ai malheureusement j'ai pas le temps de d'en parler et puis pour comprendre pourquoi cette définition non on part de la de la catégorie des schémas des schémas qui finissent sur k et à partir de là on définit une certaine catégorie triangulée avec qui vérifie les actions habituelles et qui est linéaire sur un corps de coefficient qui n'est pas fixé mais qui lui-même fait partie des variables c'est à dire ce corps des coefficients est une sorte de la théorie voilà donc je encore une fois ça sera dans les notes écrites mais j'ai pas le temps voilà donc on cherche ça voilà alors bon si évidemment le topos classifiant c'est ça qu'on ait tenté d'appeler topos motivique c'est à dire un topos qui a demais pour point les foncteurs comologiques classiques alors bien sûr on va attendre de lui d'autres propriétés donc ce qu'on va attendre de lui c'est que ce qu'on va attendre de ce topos qu'on cherche c'est qu'il possède des propriétés assez fortes ça doit pas être un topos quelconque assez fortes pour imposer à tous ces points d'avoir un certain nombre de propriétés en commun donc en particulier on s'attend à ce que tous les foncteurs comologiques et définissent des espaces de comologie de même dimension sur leurs corps de coefficient respectifs que les espaces propres définit géométriquement et même dimension etc idéalement on voudrait un topos qui est des propriétés assez fortes pour un pour imposer ça et en même temps il faut qu'il soit assez riche pour que les foncteurs comologiques classiques apparaissent comme des points de ce topos alors d'abord il y a une première définition qu'on peut proposer bon c'est une définition conjecturale parce qu'elle repose sur quelque chose qui n'est pas démontré qu'est ce que vous avez écrit des propriétés assez fortes donc assez fortes pour imposer à tous ces à tous ces points à tous ces points d'avoir des propriétés encore un certain nombre de propriétés en commun donc on va préciser mais l'idée générale c'est ça faut que ça soit d'une part assez riche pour que tous les foncteurs comologiques classiques soient des points mais d'autre part assez restrictif pour imposer à tous les points d'avoir exactement les mêmes propriétés d'un certain type alors la première définition qu'on peut proposer c'est la suivante donc on suppose que tous les foncteurs comologiques classiques alors une fois pour toutes quand je dis classique ça veut dire bt à l'addict p addict enfin tout ça quoi vous pensez donc t de dé alors vous les considérez comme ma coefficient dans les q espace vectoriale parce que leurs coefficients sont toujours de caractéristiques zéro donc vous supposez que tous ont la même théorie régulière t au sens que j'avais expliqué dans le premier exposé donc supposons qu'on sache ça bon ben alors on peut regarder le dans ce cas le topos classifiant de t et ceci bon est une possibilité de topos motivique parce que déjà on sait que les ces différents foncteurs apparaissent comme des points de ce topos et puis dans ce cas là on peut définir la catégorie des motifs comme une sous catégorie pleine de t donc c'est ce que j'avais expliqué la semaine dernière sur les donc c'est la sous catégorie pleine sur les objets super cohérents donc j'avais pas expliqué le sens exact de super cohérents peu importe l'importance et qui est une caractérisation et le fait que la sous catégorie pleine sur ces objets automatiquement va être une catégorie abélienne et culinaire donc vous définissez la catégorie des motifs comme ça et dans ce cas là une fois que vous avez fait ça et bien les vous avez que ceci les foncteurs comogiques apparaissent comme des points de t et les foncteurs de réalisation que j'avais noté ft de m dans les q espace vectorielle donc c'est les foncteurs qui permettent de factoriser les t donc ces foncteurs de factorisation ici de m dans les q espace vectorielle et bien c'est simplement les foncteurs fibres mais normalement on n'a pas c'est le poste c'est comme le faisceau d'ensemble par exemple dans la catégorie abélienne l'initiation le même pour le faisceau il y a le faisceau final non mais c'est vrai mais là donc voyez que t c'est c'est le le le topos c'était un topos particulier et donc dans ce topos vous avez que si vous considérez la sous catégorie pleine sur les objets super cohérents et bien donc comme corollaire de ce qu'on a démontré les fois précédentes vous avez que cette sous catégorie pleine est une catégorie abélienne je rappelle que le fait pour une catégorie d'être abélienne est une propriété de la catégorie donc on ne peut pas voir qu'elle fait ça au vieil et le faisceau final sont le des super cohérents non parce que le non je pense le faisceau final n'est pas super cohérent le faisceau initial non plus le faisceau initial non plus c'est à dire le vide et le faisceau final ne sont pas super cohérents alors super cohérent ça veut dire d'abord super compact donc un donc un objet est super compact quand pour tout qui tout toute famille épimorphique de morphise vers cet objet nécessairement l'une des flèches de la famille est elle-même épimorphique donc ça c'est super compact et super cohérent c'est le fait qu'en plus donc pour qu'un objet super compact a soit super cohérent il faut que pour tout autre objet super compact b et pour toute flèche de b vers a alors le produit fibré de b avec lui-même sur a est encore super compact donc c'est une voilà c'est la définition formelle et donc on a cette cas voilà donc bon on a une certaine sous catégorie pleine formée sur ces objets c'est une catégorie abélienne et même ici nécessairement culinaire donc les multiplications morphise multiplication par les entiers sont inversibles et donc le bon on a chaque fois qu'on a un foncteur comologique chaque fois qu'on a un point de et et bien ce point donne lieu à un foncteur fibre et ce foncteur fibre au sens habituel le foncteur fibre au sens de la théorie des topos c'est pas autre chose que le foncteur de factoriser le foncteur de factorisation qui va des motifs vers la réalisation vers le foncteur comologique particulier donc tout ça est une réinterprétation de ce que j'ai expliqué dans les deux exposés précédents dé va vers vous avez dé qui va vers m d'accord et ici vous avez le foncteur dé qu'en fait la représentation dé qui va de dé vers les q espace vectoriel qui se factorise de manière unique à travers cette catégorie universelle m et donc le le foncteur de factorisation on l'avait noté ft et ft n'est pas autre chose que le foncteur fibre associé à ce point quand vous avez un objet du topos ben vous pouvez considérer son image par le foncteur fibre associé à n'importe quel point oui mais là donc la catégorie qu'on considère m c'est une catégorie abélienne culinaires mais est ce que les foncteur fibre respecte la sainte directe c'est pas clair donc c'est abélien comme catégorie abstrait est ce que les foncteur fibre sont exactes alors mais encore une fois donc là on n'est pas avec un topos général avec un topos particulier et donc ce que je dis c'est que ce foncteur fibre de m dans q c'est un foncteur additif culinaires et même exact et fidèle on n'avait qu'un topos particulier m c'est la même que la catégorie qu'on devait considérer avant de non non non donc m là c'est oui enfin c'est ce que j'avais appelé ct donc le résultat que m est égal à ct et que le foncteur fibre voilà m c ct et que qu'on a un point de cet opos mais qui ne dépend pas de t parce que le ce ct il est construit à partir de la théorie régulière or ici on a fait l'hypothèse que la théorie régulière de tous les foncteurs comologiques est la même donc là vous avez un topos dans lequel vous construisez la catégorie des motifs et les réalisations comologiques s'écrivent comme les foncteurs fibres j'ai pas bien saisi la différence c'est-à-dire que p p t c'est un topos et c'est construit comment bah c'est le topos classifiant de la théorie t la théorie régulière de qu'on a supposé commune à tous les foncteurs comologiques classiques c'est-à-dire qu'on dégage la notion de foncteur comologique comme une notion géométrique et on fait le topos classifiant de ça oui c'est-à-dire on regarde quand on a un foncteur comologique on regarde sa théorie régulière associée donc j'ai expliqué les salles les deux fois précédent il y a un topos classifiant associé et donc dans ce topos classifiant on peut regarder cette sous-catégorie pleine qui s'avère abélienne et culinaire qui s'avère la catégorie abélienne qui s'avère la catégorie abélienne universelle qui permet de factoriser le foncteur t et ça c'est une sous-catégorie oui le plongement de cette catégorie dans e t donc voyez que ceci est construit comme l'effectivisation de la catégorie syntactique donc la catégorie syntactique s'envoie dans le topos par le foncteur de yoneda et le dans le topos classifiant il y a des objets abélien et les objets abélien du topos t sa forme de catégorie abélienne alors m c'est une sous-catégorie pleine abélienne comme ça mais on l'a construit comme une on l'a construit d'abord comme une sous-catégorie pleine de eux donc il y a juste une structure catégorie simplement comme vous savez le fait pour une catégorie d'être abélienne n'est pas une structure supplémentaire c'est une propriété de la catégorie donc vous avez dit que le maf de m est aussi maf non seulement de le topos mais de la catégorie abélienne objets voilà mais bon s'il vous plaît j'aimerais qu'on passe pas trop de temps là dessus parce que là on en est vraiment même pas au début là là c'est juste une reformulation ce qu'on a fait les deux fois précédents mais parce que donc donc ici il y a des en fait il y a des bons éléments dans cette définition c'est à dire le fait d'interpréter les les les foncteurs comologiques comme des points devoir les réalisations comologiques comme des foncteurs fibres là donc tout ça c'est ce qu'on veut simplement cette définition présente des défauts bon d'abord à l'éconjecturale évidemment et puis même si tout était connu ce qui bien sûr est le cas en caractéristiques zéro en caractéristiques zéro vous ça d'après les théorèmes de comparaison d'artines vous savez que la théorie régulière associée aux différents foncteurs est la même mais donc même dans ce cas là il ya quand même des défauts c'est que le bon le premier défaut c'est on ne prend pas en compte on oublie les corps de coefficient naturelle parce que je sais pas la comogie elle a dit qu'elle a coefficient en ql donc là on l'a regardé comme la coefficient en q mais c'est un peu bizarre donc on n'a pas on a oublié ça et puis comme corollaire on ignore les questions de dimension un complètement là c'est à dire la théorie régule la logique régulière le fragment régulier la logique du premier ordre ne voit absolument pas les dimensions c'est pour ça d'ailleurs qu'en changeant de corps de coefficient on trouve quelque chose qui malgré tout reste intéressant c'est parce que les questions de dimension sont absolument pas pris en compte par ça bon et puis il ya il ya aussi des choses enfin qu'on aimerait bien mettre dans le schéma général c'est à dire la structure tempsorielle les motifs ça doit être une catégorie tanacaine et puis le le passage au duale on doit avoir une structure tanacaine rigide voilà donc on voudrait essayer de remédier à ses défauts alors donc on cherche on voudrait un topos classifiant et ou des topos des topos classifiant et qui permettent justement de répondre à ces questions c'est à dire qui permettent de considérer les choses comme la coefficient variable donc il faut mettre dans la théorie le fait qu'on a des corps de coefficient variable et puis il faut intégrer les questions de dimension bon également le produit tempsoriel est le passage au duale voilà alors donc pour ces raisons là donc olivia propose de rechercher un topos classifiant qui est atomique à deux valeurs donc faut que je précise c'est la définition 12 ce que ça signifie pour un topos d'être atomique à deux valeurs alors d'abord il ya la notion de topos atomique donc c'est une notion qui est édu à bar et diaconnescu donc un topos et atomique cime chaque objet du topos et somme somme disjointe d'atome alors qu'est ce que c'est qu'un atom c'est un objet non vide qui ne possède aucun sous objet propre non vide un objet non vide du topos c'est pas l'objet c'est pas l'objet initial et qui ne possède aucun sous objet propre donc c'est une définition oui le aucun sous objet propre non vide oui disons les seuls objets sous objets il ya le vide et lui même voilà il n'y a rien d'autre donc ça c'est la définition d'atomique et la deuxième définition c'est dire qu'un topos est à deux valeurs donc ça signifie que son objet final est un atome au sens que je viens de dire donc là d'ailleurs olivier ne sait pas qui introduit sa définition pour la première fois elle passe une définition qui vient des logiciens on va voir tout de suite pourquoi cette définition est très naturelle du point de vue de la logique alors alors pourquoi proposer pourquoi rechercher un topos qui vérifie ses un topos classifiant des théories comologiques qui vérifie ses deux valeurs alors donc c'est des remarques à propos de la définition alors la première remarque alors bon suppose une définition donc une théorie géométrique respectivement du premier ordre édite complète si elle est non contradictoire bien sûr et si toute formule géométrique respectivement du premier ordre fit donc dans la signature de la théorie qui est fermé alors fermé ça veut dire sans variable libre donc si toute telle formule est démontrablement vrai dans la théorie donc démontrablement vrai ça veut dire que le vrai implique fit ou démontrablement fausse ce qui veut dire que la formule implique le faux et donc voyez qu'ici vous avez deux notions de complétude vous avez la complétude au sens géométrique et la complétude au sens du premier ordre évidemment la complétude au sens du premier ordre est quelque chose de beaucoup plus fort parce qu'il y a beaucoup plus de formules du premier ordre que de formules géométriques fermées alors donc là on a les propriétés suivantes c'est que si t est géométrique t est complète donc au sens géométrique si et seulement si sont au poste classifiant est à deux valeurs c'est une équivalence et on a quelque chose d'encore mieux enfin on a disons on a une propriété supplémentaire qui se marie avec la précédente c'est que si vous supposez de plus que le topos classifiant est atomique alors pour cette théorie la complétude géométrique c'est à dire le fait que le topos soit à deux valeurs équivaut à la complétude du premier ordre c'est à dire ça équivaut à quelque chose qui en général est beaucoup plus fort donc si vous avez un topos qui est atomique à deux valeurs et bien qui classifie une théorie t nécessairement cette théorie est complète non pas seulement au sens géométrique mais au sens du premier ordre est-ce que dans le formalisme logique que vous avez ce qui c'est sans donner le détail oui la démonstration dans votre système donc vous avez un variant géométrique après le premier ordre qui pluriche mais est-ce que si on peut démontrer quelque chose de géométrique avec les règles de premier ordre c'est la même chose qui on peut le démontrer seulement avec les règles géométriques oui parce que les règles d'inférence entre entre séquences ont les mêmes non mais on peut imaginer qu'il y a un c'est permettant d'avoir des choses de premier ordre au milieu c'est conserratif c'est conserratif c'est-à-dire ça réfléchit c'est quelque chose c'est quelque chose de géométrique et démontre à mon premier ordre alors c'est une action géométrique alors c'est bon donc voilà donc ici donc si le topo un topos classifier est atomique à deux valeurs la théorie t est complète or ici il ya une remarque importante c'est que les notions de dimension d'espace vectoriel est formulables par des formules fermées au premier ordre mais pas dans la logique géométrique la logique géométrique n'est pas suffisante pour formaliser la notion de dimension par des formules fermées on peut formuler la notion de dimension égale quelque chose d'une dimension 5 mais pas la notion de dimension comme en relation entre entre l'intrénient tourelle c'est quoi la dimension pour vous c'est c'est formuler la notion de dimension n pour chaque n c'est vraiment formuler la notion pour chaque n séparément chaque n séparément et enfin en fait ce qu'on va formuler c'est le fait d'être deux dimensions au moins égal à n pour chaque n au moins égal à n l'inferior mais on peut pas par exemple formuler la notion d'avoir une dimension finie ça c'est un truc qui demande oui oui oui oui oui oui tout à fait oui oui donc ça veut dire on va pour avoir la dimension la notion dimension générale on va considérer tous les entiers déjà dans la logique géométrique on a des dimensions infinies simplement encore une fois encore une fois donc ici ce qui est important c'est que la notion dimension peut être formulée par des formules fermées sans variables libres dans la logique du premier ordre mais pas dans la logique géométrique et dans la logique du premier ordre vous permettez aussi de formuler en finie ça dépend un peu de la notion d'espagnol vectoriel j'allais pour plus poser que l'espagnol vectoriel la décollégéité et d'ici la part sur l'espagnol vectoriel c'est aussi motion géométrique d'espagnol vectoriel oui oui oui tout à fait oui et dans ce cas là la notion dimension a un sens non elle a un sens oui mais le problème c'est de pouvoir la formuler par une formule fermée encore une fois la notion de completude ça porte pas sur les implications générales entre formules ça porte sur le fait qu'une formule va démontrablement une formule fermée sans variables libres va démontrablement vrai ou démontrablement fausse voyez que si vous voulez formuler la notion dimension nécessairement vous allez faire apparaître une implication c'est à dire si vous avez lambda 1 x1 plus lambda 2 x2 plus lambda n xn égale 0 ça vous implique lambda 1 lambda 2 lambda n égale 0 or les implications en tant que langage interne de la théorie les implications ne sont pas admises dans la logique géométrique mais soit admise dans la logique du premier ordre j'avais vu ça il y a une semaine voilà donc ça c'était la première remarque la deuxième remarque c'est que pour un topos qui est atomique à deux valeurs donc si et et et et atomique à deux valeurs ces foncteurs fibres en les différents points sont sont très bons il vérifie des propriétés qui ne sont pas vérifiés en général par les points des topos ils sont conservatifs et ils commutent au limite et co-limite arbitraire pas simplement fini mais arbitraire et enfin ils commutent à la formation des hommes internes ce qu'on appelle des exponentielles en logique donc ça c'est entraîné par le fait que le topos est atomique à deux valeurs c'est pas du tout vrai en général donc ça c'est évidemment ça veut dire que si vous vous restreignez vos foncteurs fibres à la catégorie des objets culinaires du topos si si vous regardez les objets culinaires bah ça a des conséquences c'est que les foncteurs fibres vont être exactes et fidèles bien sûr bon ils vont respecter le produit tempsoriel mais ça c'est vrai en général parce que pour ça il suffit de respecter il suffit de respecter les collimites arbitraires et les limites finies et puis il va également respecter le passage au duale parce que le passage au duale c'est un cas particulier de ça donc alors que pour des foncteurs fibres généraux ça serait pas vrai bon une autre remarque qu'on peut faire encore c'est que donc si e t est atomique à deux valeurs alors la théorité est maximale comme ça c'est une remarque en passant donc maximale ça veut dire qu'on ne peut pas rajouter à t des axiomes on peut rajouter à t aucun nouvel axiom qui n'est pas démontrable dans la théorie sans sans obtenir une contradiction alors la quatrième remarque qui est très importante parce que jusqu'ici je vous ai pas donné d'exemple vous prenez donc c'est une classe très générale de topos atomique du de topos atomique à deux valeurs vous prenez pour g un groupe topologique et vous lui associer le topos des ensembles discrets avec action continue de g ceci est un topos atomique à deux valeurs et même bon on va voir un peu plus loin qu'il y a une sorte de réciproque partielle pour ça je dis pas que tout topos atomique à deux valeurs est cette forme là mais quand même souvent ils sont de cette forme alors évidemment les atomes c'est quoi bah c'est les ensembles discrets munis d'une action transitive donc la décomposition en axiom ça correspond simplement à la décomposition en orbite pour l'action du groupe c'est je dis trois je dis que si le topos classifiat et atomique à deux valeurs alors la théorité maximale on peut pas lui ajouter d'action sans aboutir à une contradiction alors donc voilà les remarques que je voulais faire ensuite il y a une proposition qui est une proposition de bar et diaconnesco qui exhibe en fait une famille très grande de topos atomique à deux valeurs pardon de pardon de une famille très grande de topos de topos atomique pour le moment alors leur procédé général c'est le suivant donc qui considère c'est une catégorie qui satisfait la propriété d'amalgamation que je vais noter pa propriété d'amalgamation donc ça veut dire quoi ça veut dire que chaque fois que je me donne trois objets dans la catégorie relier entre eux par deux flèches donc là vous avez trois objets quelconque de la catégorie alors vous pouvez toujours compléter ça en un carré commutatif dans la catégorie et on demande rien d'autre au morphisme c'est voilà chaque fois propriété d'amalgamation alors si vous avez cette propriété vous pouvez mettre sur la catégorie une topologie de grotendie qui s'appelle la topologie atomique pour laquelle tout crible non vide et couvrant donc ça vérifie les actions des cribes c'est à dire les actions des topologies de grotendie qu'à cause de cette propriété d'amalgamation qui suffit pour reprendre l'image réciproque d'un crible par par une flèche catégorie mais il semble que c'est la catégorie opposée si vous avez la propriété d'amalgamation oui vous avez raison c'est la catégorie la catégorie opposée donc donc dans ce cas là donc le théorème c'est que dans ce cas là le topos associé donc à la catégorie opposée opposée munie de cette topologie ce topos est automatiquement atomique c'est pour ça que cette topologie s'appelle la topologie atomique donc c'est un moyen extrêmement général de d'exhiber des des topos atomiques alors donc maintenant on cherche une donc de même qu'il y a ce théorème de bar et diaconnesco pour produire des topos atomiques on peut se demander immédiatement comment produire des topos atomiques à deux valeurs et donc la réponse est fournie par le ce théorème là qui est vraiment le théorème central pour ce que je suis en train de raconter donc je vais expliquer ce que ça veut dire alors vous partez de s une théorie de type préféceau donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que son topos assis son topos classifiant est un topos de préféceau ça veut dire qu'il est équivalent aux topos des foncteurs contre invariant sur une certaine catégorie sans topologie voilà donc vous prenez une catégorie de type préféceau quelconque par exemple toutes les toutes les théories algébriques sont des théories de type préféceau la théorie des groupes des anneaux toutes les théories des modules des espaces vectorielles tous ces théories là sont des théories de type préféceau ensuite vous introduisez la catégorie des modèles finiment présentables de cette théorie alors qu'est ce que ça veut dire qu'un modèle est finiment présentable ça veut dire que le foncteur des homomorphismes de m dans dans le modèle quelconque donc ce foncteur là commute au collimite collimite filtré arbitraire donc c'est une définition et en fait par exemple pour les théories algébriques ça correspond vraiment aux objets engendrés par un nombre fini d'éléments oui parce que alors qu'est ce que ça veut dire ça ici attention je suis en train de parler de modèles ensemble liste c'est à dire j'ai une théorie et je regarde ces modèles dans la catégorie des ensembles donc ça c'est une catégorie sur cette la catégorie des modèles de la théorie dans les ensembles et dans cette catégorie ça a un sens de demander que ce foncteur commute au limite filtré arbitraire oui parce que c'est une catégorie on l'a déjà dit alors voilà donc vous prenez cette catégorie alors le premier résultat c'est voyez la définition c'était que c'est théorie de type préféceau ça veut dire équivalent à une certaine catégorie de de préféceau mais on dit pas on dit on dit pas laquelle et là le point ça précise ça veut dire qu'en fait dans ce cas là nécessairement ce te pose va être équivalent à la catégorie des préféceaux sur c comment dire ça marche avec c ça marche avec c c'est le premier résultat le deuxième résultat si c vérifie la propriété d'amalgamation alors ce topo c'est atomique donc ça c'est j'ai simplement recopié ce résultat de bar et diaconnesco oui oui oui oui oui oui oui oui on suppose effectivement qu'il ya des modèles ensemble liste effectivement j'aurais dû mettre cette hypothèse vous prenez une théorie de type préféceau mais je pense ça doit être automatique en fait pour une théorie de type préféceau d'avoir des modèles ensemble liste c'est automatique parce que bien sûr vous prenez une théorie non triviale et dans ce cas là à cause de ce théorem ça impose bon bon en général oui disons elle va être équivalente à une petite catégorie voilà donc la troisième propriété c'est la suivante c'est que ce topos donc dont on sait déjà qu'il est atomique d'après bar et diaconnesco est à deux valeurs si et seulement si c'est une équivalence c vérifie la propriété de plongement conjoint donc ça veut dire quoi ça veut dire si vous donnez deux objets de c la catégorie des modèles finiement présentables vous pouvez toujours les envoyer dans un troisième alors il sait bien sûr on fait l'observation que si la catégorie c est un objet initial la théorie la propriété de plongement conjoint résule de la propriété d'amalgamation parce que les morpheuses de modèles qu'on considère c'est de morphisme est ce qu'ils sont un symbolisme objectif ou pas non donc là dans les définitions on ne met pas mais votre question donc ça serait une remarque que je vais faire c'est à dire que cette théorie va être intéressante disons presque seulement si les flèches sont des monomorphismes mais je vais faire la remarque un peu plus loin mais donc dans les travaux d'olivia vous avez un théorème très précis qui vous dit quand exactement cette cette théorie va donner quelque chose de non trivial mais voilà donc vous avez ça donc voilà ce topos est à deux valeurs si et seulement si c'est propriété vérifié la quatrième propriété on suppose que la propriété d'amalgamation est vérifiée donc on a ce topos dont on sait déjà qu'il est atomique et alors là c'est le fait que les points de ce topos s'interprètent comme les modèles de la théorie s qui sont les modèles ensemble de la théorie s qui sont c homogène donc c homogène ça veut dire quoi ça veut dire si vous vous donnez deux objets quelconque de c donc de la catégorie des modèles finiement présentables relié par une flèche plus une flèche de A dans cet objet u alors nécessairement vous pouvez compléter cette flèche en une autre faisant commuter le triant c'est la propriété de c homogénéité et donc le point 4 c'est que les points de ce topos dont on sait déjà qu'il est atomique c'est exactement les modèles homogène en ce sens là le point 5 on suppose que c vérifie les amalgamation et plongement conjoint et on se donne un point u qui est non seulement et homogène mais ultra homogène alors ultra homogène ça veut dire chaque fois que vous vous donnez un objet A de c avec deux flèches dans u et bien vous pouvez transformer la première flèche en la deuxième via un automorphisme de u donc ça c'est l'ultra homogénéité et puis on demande aussi l'universalité c'est à dire que tout objet de A s'envoie dans u par au moins une flèche donc supposez que vous ayez un u qui est à la fois donc homogène ultra homogène est universel alors nécessairement ce topos dont on sait qu'il est atomique à deux valeurs puisque on sait vérifier à la fois l'amalgamation et le plongement conjoint donc ce topos là est équivalent au topos des actions continues du groupe des automorphistes de u ici vous avez g égale haute de u avec la topologie évidence c'est à dire celle qui ou les ouvert c'est ce qui fixe les objets de c donc donc vous voyez je vous avais dit tout à l'heure qu'il y a une réciproque partielle au fait que les topos atomiques à deux valeurs comprennent les actions continue des groupes donc ici si vous avez un modèle homogène qui est au moins un qui est ultra homogène et universel alors on a ça voilà et alors je veux dire ici je veux faire un certain nombre de remarques comme d'habitude donc j'ai dit que voilà donc ça c'est un théorème très général qui permet de construire des topos atomiques à deux valeurs mais là la première remarque c'est que tout topos atomique à deux valeurs peut être construit de cette manière et en général pas d'une seule façon de plein de façon c'est à dire vous pour construire n'importe quel topos atomique à deux valeurs vous pouvez toujours partir d'une théorie type préfet saut et dérouler cette machine donc ça veut dire notre notre construction en un sens elle n'est pas particulière c'est vraiment les topos atomiques à deux valeurs on les obtient toujours comme ça alors l'autre là ici notre remarque extrêmement importante c'est que considérer le le topos classier alors vous supposez que vous vous donnez une théorie t dont le topos classifiant c'est à dire le le topos des des faisceaux sur la catégorie syntactique munie de la topologie syntactique vous supposez que vous avez une théorie t dont le topos classifiant est équivalent à ce topos là donc dans cette situation là entrement dit vous avez supposé que la propriété d'amalgamation est vérifiée vous supposez que vous avez cette équivalence alors le voyez que le point 3 c'est le fait que ce topos est à deux valeurs si et seulement si la catégorie c'est vérifier la propriété de plongement conjoint mais tout à l'heure je vous ai dit que dire que ce topos est à deux valeurs c'est équivalent à dire que cette théorie est complète donc ici vous avez que t est complète si et seulement si la catégorie c vérifie la propriété de plongement conjoint donc ça c'est un exemple typique et particulièrement frappant de ce que olivia appelle les pontes aux post théoriques c'est à dire que vous avez deux propriétés a priori complètement étrangères qui sont mises en relation et là en équivalence via une équivalence de topos voyez que sans la théorie des topos honnêtement voyez ici le théorie complète donc là une notion logique c'est équivalent à la propriété de plongement conjoint sur une catégorie et en même temps si vous demandez un logicien si vous parlez de complétion des théories un logicien il va vous dire ah oui mais montrer qu'une théorie est complète c'est extrêmement difficile en général c'est impossible bah là vous avez un critère si vous savez que le topos classifiat d'une théorie est de cette forme là et puis bon on peut aussi faire la remarque quand on est dans cette situation on sait déjà que ce topos est atomique donc on sait que la complétion au sens géométrique est équivalente à la complétion au sens du premier ordre donc ici vous prenez la complétion de la théorie la propriété pour la théorie d'être complète en l'un ou l'autre des deux sens c'est-à-dire au sens du premier ordre c'est équivalent à cette propriété là je veux dire que j'ai pas vu les logiciens il y a un logicien Abraham Robinson qui a développé toute une théorie de la relation entre la catégorie du modèle et les propriétés de la théorie comme par exemple exactement cette théorie là c'est quelque chose qui traite le midi au logicien à cause de travaux de Abraham Robinson celui de la résistance standard oui moi je sais pas enfin en tout cas on a cette cette équivalence et donc vous voyez que ici la théorie c c c'est pas les modèles de thé c'est c'est les modèles les modèles finiment présentables de s il y a deux tauposes différents vous avez un taupose de préfet saut et puis dedans vous avez un taupose de faisceau qui lui est atomique alors que bien sûr le premier là ne l'est pas oui là je pense que si vous voulez pour formuler un énoncé comme ça je pense pas qu'il est possible d'éviter la notion de taupose on a vraiment envoyé la l'hypothèse c'est d'avoir une équivalence de taupose alors alors bon je peux donner des ensuite dans les remarques alors je peux donner des exemples alors le premier exemple c'est quand vous prenez pour s la théorie des extensions algébriques d'un corps cette théorie et de type préfet saut ces modèles finiment présentables c'est modèle oui quand je dis extension algébrique et l'extension algébrique c'est parable ces modèles finiment présentables c'est simplement les extensions finies et ces modèles homogènes c'est les clôtures algébriques du corps oui je fixe un corps donc c'est un exemple je fixe encore et je regarde la théorie des extensions algébriques séparable de ce corps donc c'est même l'exemple standard c'est à dire ceci recouvre en particulier la théorie de galois un autre exemple qui est élémentaire mais mais frappant c'est ce qu'on appelle la théorie des objets décidables vous prenez pour s la théorie des objets décidables donc c'est un terme de logicien donc ça veut dire que vous avez une sorte une seule sorte et une relation qui est la relation x différent de y donc dans ce cas là qu'est ce que c'est que les modèles finiment présentables ce sont les ensembles finis qu'est ce que c'est que les flèches entre ces modèles c'est les injections pourquoi les injections c'est parce qu'on doit préserver cette relation donc la catégorie c c'est la catégorie des ensembles finis et leurs injections qu'est ce que c'est que les modèles homogènes c'est les ensembles affinis décidables oui je définis la théorie la théorie des objets décidables donc il y a une sorte et une relation qui est la relation de différence parce que ça distingue les choses les unes des autres c'est le complémentaire de la de de l'égalité bon c'est un terme de je sais pas qui est ce que c'est Johnston bon enfin voilà tout de façon elle est définie par ça donc les modèles les modèles finiment présentables sont les ensembles finis reliés par les injections les objets homogènes les modèles homogènes ce sont les ensembles infinis et vous observez qu'ils sont non seulement homogènes mais aussi ultra homogènes et universelles donc ça veut dire vous vous donnez n'importe quel ensemble infinis et l'autopos de la théorie des modèles homogènes il va être équivalent autopos des actions continu du groupe des automorphistes de cet ensemble infinis donc là vous voyez c'est un exemple complètement élémentaire mais assez éclairant parce que vous voyez que dans l'exemple précédent on a les différentes clôtures agébriques dont on sait qu'elles sont isomorphes si on suppose l'action du choix tandis que là les points ultra homogènes c'est les ensembles infinis il risque pas d'être isomorphes ensemble infinis de cardina quelconque et donc les groupes d'automorphistes de ces points sont des groupes topologiques ils sont pas du tout isomorphes entre eux mais ils ont tous le même topos associé non parce que c'est la théorie des extensions algébriques voilà donc voilà voilà donc donc vous voyez ça illustre donc cet exemple est important parce que justement il illustre le fait que les points peuvent être franchement différents les uns des autres comme les ensembles infinis donc vous voyez c'est dire que la situation traditionnelle de galois est particulière à cet égard et néanmoins donc même si les points sont très différents si leurs groupes d'automorphistes sont complètement différents néanmoins le topos associé toujours le même ce qui illustre le fait que l'importance est le topos voilà donc voilà le contexte général et alors tout à l'heure j'ai dit disons là au moins l'hypothèse de travail d'olivian c'est de chercher un topos classifiant des théories homologiques qui soit atomique à deux valeurs bon bah on va essayer de le de le construire de cette manière là toute façon on a dit que tout au post atomique à deux valeurs peut être construit comme ça alors oui il y a une dernière remarque que je dois faire qu'en fait qu'a déjà été faite avec la remarque d'offre c'est que en fait cette théorie est intéressante j'ai dit presque seulement si toutes les flèches de la catégorie c sont adjectifs comme on a vu d'ailleurs dans les exemples que j'ai donné c'est à dire les extensions de corps quand vous avoyez une extension finie dans une autre extension finie c'est adjectif et puis la théorie des objets décidables ces ces modèles sont les les flèches sont adjectifs par des puisqu'il y a la relation différent justement quand vous avez les modèles donc il y a certains fonctions donc sortes de fonctions et tout ça dans la théorie ici il n'y a pas de la théorie des objets décidables il n'y a pas de sable de fonctions mais en général oui il y en a oui de modèles donc il y a aussi de relations oui mais est-ce que l'égalité est en relation donc si l'égalité est en relation et c'est dans l'amélioration des modèles doit être injecté je sais pas exactement si ça conserve une relation d'égalité non il faut pour avoir de l'injectivité faut plutôt conserver des relations d'inégalité à conserver au sens faible c'est-à-dire si la relation est vérifiée c'est vérifié par les images par n'importe quelle flèche mais encore une fois on est donc je veux pas être trop précis parce que j'ai dit que c'était pas exactement seulement si toutes les flèches sont adjectives il y a des cas où les flèches sont pas où on n'est pas très loin d'une situation où tous les morphices sont des monomorphices et où c'est intéressant donc bon olivien résultat précis là dessus que d'ailleurs vous trouvez dans l'article topos motivique voilà alors donc maintenant on voudrait réaliser on voudrait penser dans ce cas dans ce cadre là on voudrait penser dans ce cadre là les relations entre théorie homologique donc c'est la question 15 ça c'est je pense que c'était le théorème 14 que je laisse parce que c'est vraiment le point central alors donc ça veut dire voilà ce qu'on cherche alors en fait on cherche deux choses c'est à dire d'abord on cherche une théorie s de type preféso puisque c'est la première hypothèse dans le thorème qui est là et on veut que ces modèles finiment présentables enfin ce qu'on attend c'est que ce soit les sous-objets finiment engendrés des représentations homologiques du carquois d qu'on a mis au départ donc finiment engendrés ça veut dire quoi ça veut dire que d'abord on va avoir un corps engendré sur cul par nom finie d'éléments et puis on va avoir ici simplement quand on a une telle représentation elle est composée d'une collection d'espaces vectorielles on prend un nom finie d'éléments dans certains de ces espaces vectorielles et le modèle engendré c'est tout ce qu'on peut obtenir par combinaison linéaire image de flèche etc donc on regarde les sous-objets engendrés par un nom finie d'éléments et donc ce qu'on voudrait c'est avoir une théorie s dont les modèles de présentation finie dont les modèles finiment présentables pardon sont les sous-objets des théories homologiques donc évidemment quand je dis ça il y a un sous-entendu c'est qu'on s'attend à ce que pour les foncteurs homologiques classiques les sous-objets soient les mêmes donc les modèles finiment présentables ça doit être les sous-objets donc ça veut dire les s2d plongés dans t2d stab par toutes les structures et engendrés par un nom finie d'éléments et puis les flèches quand on a deux telles sous-objets les flèches de l'un dans l'autre entrement dit les flèches de cette catégorie de la catégorie c de tout à l'heure ben ça doit simplement être les flèches entre les deux structures c'est à dire qui envoient s2d sur s'prime 2d en respectant toutes les structures bien sûr je demande pas du tout que ces flèches soient compatibles avec les plongements dans dans t comme vous voyez que la toute la richesse de la théorie galois c'est l'ambiguïté sur les les morphismes vous fixez pas le le plongement donc voilà on voudrait quelque chose comme ça et donc on voudrait que cette catégorie vérifie les propriétés d'amalgamation et de plongements conjoints bon et puis ensuite on cherche une théorie t déduite de la première la première on l'a appelé on l'appelait s parce que c'est une théorie qui dont on attend qu'elle classifie les sous-objets le s c'est pour sous sous-objets donc ce qu'on attend c'est que e t le topos classifiant de t soit équivalent autopos donc des faisceaux sur sur c pour la topologie atomique voilà et évidemment ce qu'on veut c'est que les les représentations comologiques classiques soit des points de ce topos autrement dit des modèles homogènes de la théorie s ce qui veut dire en particulier qu'on s'attend la chose suivante c'est que quand on a un foncteur comologique ben chaque fois qu'on prend un sous-objet engendré par un enfinie d'éléments et ben lui on doit pouvoir l'envoyer dans n'importe quel autre foncteur comologique donc par exemple ça contient le fait que les valeurs propres doivent être les mêmes etc c'est l'idée que en quelque sorte les les foncteurs comologiques donc l'officier dans les ql bar pour différents ailes d'encuper bar évidemment ils sont pas du tout il n'y a aucun moyen de ils sont pas du tout ils ont morph entre eux mais en revanche chaque fois qu'on prend dedans des sous-objets finitement engendrés c'est soit c'est ça qui doit être possible de transposer et en fait donc on imagine ça comme une situation beaucoup plus proche de l'exemple des objets décidables que de l'exemple de galois parce que dans les hommes de galois les différents points sont ils ont morph entre eux et là pas du tout comme tu dis ql bar n'est pas enfin on peut toujours dire que ql bar ils ont morph à ql prime bar mais c'est complètement artificiel de faire ça en revanche de oui une autre chose que je dois dire c'est que si si c'est vrai donc disons si les foncteurs comologiques classiques s'interprètent comme des modèles homogènes donc dans dans la définition des foncteurs il y a en particulier une sorte qui désigne le corps et il faut que le corps soit lui-même homogène un modèle homogène de la théorie des corps alors qu'est ce que c'est qu'un modèle homogène de la théorie des corps c'est un corps agériquement clos de décret de transcendance à fini donc évidemment c'est ql bar qp bar sont des modèles homogènes de la théorie des corps donc ça veut dire que si on veut faire marcher toute cette théorie bien sûr il faut prendre les coefficients non pas dans ql mais dans ql bar voilà donc ça c'est le voilà donc voilà donc on cherche ça maintenant je vais encore faire des remarques oui peut y avoir des autres points oui on n'exclue pas ça mais si on a un schéma comme ça ben on aura que tous les points vérifier les mêmes propriétés donc en particulier les dimensions d'espace vectoriel oui à deux valeurs on cherche ça mais qu'est-ce que ça veut dire construit de manière des nombrables ça veut dire que les générateurs de l'opos c'est une capitulée des nombrables que la topologie est non mais d'être isomorphes oui bon je suppose que bon pour un résultat comme ça même s'il est correct j'imagine qu'il faut l'action du choix nécessairement oui enfin ça dépend quand on dit par exemple ql bar isomorphes à ql prime bar donc avec l'action du choix c'est vrai mais en même temps c'est la question est-ce qu'il suffit d'action du choix des nombrables c'est ça la question ouais c'est-à-dire est-ce pour démontrer l'isomorphisme entre deux points est-ce qu'il suffit d'avoir l'action du choix des nombrables c'est-à-dire est-ce qu'on peut le faire par récurrence ça je pense qu'il suffit essentiellement c'est à dire que pour démontrer ces choses-là il faut montrer que quelque chose d'extérieur par la topologie que l'interécution des nombrables de verre dans l'espace mais c'est complet ça c'est l'action du choix des nombrables c'est suffit oui c'est ça et à donc ça contredirait le fait que tu as des théories homologiques artificielles dans les corps non mais j'ai dit bon disons non mais deux faits mais déjà la question se pose pour la théorie des corps là ce que vous dites vous avez absolu vous pouvez oublier tout le formalisme homologique et là il n'y a pas doute que la théorie que ceci marche au niveau de la théorie des corps est-ce que ça veut dire si les points non je pense pas non non donc je crois en fait je crois pas je crois pas à ce théorème pour la théorie des corps les modèles homogènes sont vraiment les là vous prenez pour la théorie des corps les modèles homogènes encore une fois je répète c'est les corps agiriquement clos de degré de transcendance infinie et par exemple vous avez aucune contrainte sur le sur le cardinal de cette transcendance donc d'accord oui mais la théorie est d'accord à les dénombrats mais ensuite les points donc il y a un résultat sur les pouvoirs des types donc bon voilà donc je continue alors ici une remarque qu'on peut faire c'est donc voilà voilà le schéma général qu'on veut alors voyez ça veut dire qu'on s'intéresse donc bon les théories comogiques on voudrait que ce soit des modèles homogènes de s et puis on aurait les sous-objets des théories comologiques alors ici une remarque importante c'est que quand on a une théorie comogique enfin un fonteur comogique bien sûr il vérifie beaucoup de propriétés d'exactitude de suite exacte longue mais ces sous-objets n'érite pas de ces propriétés bien sûr les sous-objets héritent de toutes les propriétés algebraiques par exemple chaque fois que vous avez deux flèches dans le composé zéro ça va rester zéro sur au niveau des sous-objets mais en revanche l'exactitude c'est à dire l'image de la première égal noyau de la seconde ça ça sera pas hérité par les sous-objets donc ça veut dire que dans la théorie s vous devez vous attendre à ne pas à perdre toutes les propriétés d'exactitude bon un corollaire je l'ai déjà dit c'est que si ce schéma la marche et bien la catégorie formée à partir des modèles finiement engendrés d'un fonteur comogique classique ne doit pas dépendre de ce fonteur voilà donc j'ai dit que bon si on a une théorie comologique qui est un modèle homogène nécessairement son corps de covision est un modèle homogène dont autrement dire un modèle homogène de la théorie des corps autrement dit un corps agériquement clos de degré transcendance infini alors maintenant bon j'ai parlé de de de modèle finiment présentable j'ai de mais alors dans le cas des théories de préfet saut on va avoir une équivalence donc c'est la définition 16 entre modèle finiment présentable et modèle présenté par une formule donc pour ça il y a une définition donc on prend m donc c'est un modèle ensemble liste d'une théorie s et on dit que m est présentée par une formule phi dans un certain contexte x x égale x1 xn si et seulement si se donnait une flèche de m dans un autre modèle ensemble liste n donc se donner une telle flèche équivaut à se donner des éléments y1 yn de n alors de n ça veut dire dans les différents ensembles indexé par les sortes de la théorie voilà donc ça équivaut à se donner différents éléments telle que la formule phi de y1 phi de yn est valide dans n donc c'est la modèle notion de modèle présenté par une formule comme par exemple un groupe en général vous allez le présenter par des générateurs et des relations alors maintenant vous avez le théorème suivant donc c'est le théorème 17 qui est également un théorème d'olivia je pense que c'est même pas dans l'un de ces trois articles c'est dans un autre article encore donc c'est le suivant vous prenez toujours une théorie de type préféceau donc toujours cette hypothèse très importante et vous regardez sa catégorie syntactique la catégorie syntactique de cette théorie et dans cette catégorie syntactique vous dites qu'un objet est irréductible si ces seules cribles couvrant pour la topologie syntactique sont ceux qui contiennent l'identité donc ceux qui contiennent toutes les flèches vers vers l'objet alors donc ça c'est l'hypothèse donc ici vous avez une hypothèse un théorie de type préféceau là vous avez une définition définition d'objets réductifs dans la catégorie syntactique et donc le théorème c'est que la catégorie c'est donc des modèles finiment présentables de S et équivalent à l'opposé de la sous catégorie pleine de la catégorie syntactique formé sur les objets irréductibles alors qu'est ce que c'est que cette équivalence et bien cette équivalence enfin comment les défiler concrètement ben quand on a un modèle finiment présentable le théorème dit qu'on peut toujours le présenter par une formule les objets de la catégorie syntactique sont des formules on peut toujours le présenter par une formule irréductible en ce sens là et réciproquement quand on a une formule irréductible et bien cette formule dans la théorie S cette formule irréductible présente un modèle finiment présentable de la théorie donc y a équivalence ici c'est-à-dire que se donner un modèle finiment présentable de la théorie c'est la même chose que se donner une formule irréductible alors pour ça là donc maintenant on est en mesure de proposer une définition j'ai envie de l'appeler définition de travail c'est-à-dire des candidats pour être les théories S et T alors le point de départ c'est qu'on se donne un foncteur comologique classique donc on va appeler T0 donc il va de D dans les espaces vectorielles un coefficient dans un certain corps K0 donc il peut être QL bar, QP bar, C on se donne un foncteur comologique classique et à partir de ce foncteur on va définir deux théories S et T de la même façon que dans les deux fois précédentes partant d'un foncteur particulier on lui avait associé sa théorie régulière donc là on va on fait une construction différente on va associer à ce foncteur deux théories alors la construction se fait en plein bien en plusieurs étapes donc d'abord il faut des signes bien sûr des signatures et des axiomes alors il y a d'abord une signature de base donc ça va pas être la signature de la théorie S ça va être la quelque chose qui est disons le pas avant S alors qu'est ce qu'on met dans la signature de base donc on met d'abord bon il faut définir les sortes donc on met une sorte pour le corps K et pour chaque D pour chaque objet petit D du diagramme D ensuite bien sûr il y a des symboles de fonctions pour les structures donc de K structure d'anneau de K et de chaque sorte D donc c'est à dire les structures calinaires de chaque sorte D tout ça c'est des sables de fonctions ensuite un sable de fonctions pour chaque flèche de D bien sûr et enfin on rajoute deux relations donc la relation d'égalité à zéro et la relation de différence d'inégalité de zéro donc ça c'est la signature de base alors ensuite il faut mettre dessus des axiomes donc pour définir ce qu'on va appeler la théorie de base qui n'est pas encore tout à fait la théorie S on va voir pourquoi donc le point 2 donc c'est i égal théorie de base alors deux signatures sigma i alors bon bah dedans il y a un certain nombre de séquence donc les séquences qui disent que K est encore et que les autres sortes sont des K espace vectorielle alors ensuite les séquences qui définissent la théorie la relation différentes zéro donc ça veut dire que le vrai implique en x x égale 0 ou x différentes zéro et d'autre part on a que x égale 0 et x différentes zéro implique en x le faux donc ça ça définit la relation de différence à partir de la relation d'égalité qui fait partie du langage voilà donc ça c'est les choses les plus évidentes et puis ensuite on met les séquences phi psi qui sont vérifiées dans tes zéro entre formules voyez qu'il y a comme toujours dans un séquence il y a deux formules et ce que je j'autorise comme formule ce sont les conjonctions finitaires d'égalité de relation d'égalité entre termes autrement dit c'est des équations et les termes c'est quoi c'est des choses où apparaissent simplement les combinaisons linéaires et la composition des flèches donc ici dans phi et psi il n'y a rien d'autre que des relations algébriques et c'est la seule chose qui dépend du fonteur comologique de départ autrement dit dans la définition de y vous mettez simplement toutes les relations toutes les implications entre équations qui sont vérifiées dans tes zéro et vous autorisez des conjonctions finitaires c'est-à-dire vous autorisez à ce que si vous avez les équations f1 égal 0 f2 égal 0 fn égal 0 ça vous implique une certaine équation g égal 0 donc vous regardez toutes les relations de cette forme qui sont vérifiées par le foncteur comologique t0 alors donc ça c'est l'étape 2 ensuite vous avez une étape 3 vous êtes obligé pour définir la signature de s vous êtes obligé d'élargir la signature donc la signature de s ça va être la signature de y plus une famille de relations donc rs dans chaque contexte x alors ici qu'est ce que c'est que s c'est tous les sous-ensemble possible sous ensemble de celui des termes en le contexte que vous avez choisi c'est à dire chaque fois que vous avez une famille finite variable de correspondant à certaines sortes vous pouvez former tous les termes en ces variables c'est-à-dire tout ce que vous pouvez obtenir à partir de ces variables par flèches composition de flèches combinaison linéaire etc et donc le sens de cette relation rs c'est que si vous avez un terme qui est dans s vous allez demander la relation s égal 0 et si vous avez un terme qui est dans le complémentaire de s mais toujours dans le même contexte vous allez demander la relation s différent 0 donc vous élargissez la signature en rajoutant ces relations et la partie 4 c'est bah vous avez vous définissez la théorie s donc la théorie s c'est quoi c'est les donc elle a pour signature sigma s et ses actions donc elle contient la théorie i donc tous les actions de lui sont vérifiées dans s et puisque vous mettez c'est dedans en plus comme action supplémentaire c'est les actions de définition des rs donc je sais pas si vous voulez que je les écrive ou pas donc par exemple le fait que la relation rs implique s égale 0 pour tout s appartenant à s alors grand s c'est d'abord la donnée d'un contexte x c'est à dire une famille finie de variable associé à certaines sortes et puis d'un sous ensemble grand donc s désigne un sous ensemble de l'ensemble de tous les termes dans ce contexte c'est à dire toutes les expressions algébriques que vous pouvez former à partir de ces variables par combinaison linéaire action des flèches du diagramme d non donc ça c'est grand s c'est un sous ensemble de l'ensemble de tous les termes en x et là les éléments de grand s vous les appelez petit s donc quand vous sois des termes et donc le sens de la relation c'est que si vous avez petit s appartenant à grand s ça signifie que s égale 0 vous voulez mettre l'équation s égale 0 si au contraire le terme n'est pas dans grand s vous mettez la relation s différentes 0 donc ceci ça va servir à voyez donc c'est relation le sens de formule qui vont permettre de présenter les modèles finiment présentables et là c'est pour être la finie oui tout à fait donc c'est pour ça donc ça c'est une très bonne remarque c'est pour ça qu'on a besoin d'introduire ces relations parce que dans la logique géométrique on n'a pas le droit à des conjonctions infinitaires or ici les ensembles grand s et leurs complémentaires peuvent très bien en général ils sont infinis donc pour ça formellement on est obligé d'élargir la signature en rajoutant ces relations mais bien sûr pour que ces relations s'illéfient ce qu'on veut il faut préciser le sens de ces relations donc le sens c'est que rs implique s et et le vrai implique rs ou s différentes 0 pour s appartenant à grand s et puis pour s n'appartenant pas à grand s c'est le contraire c'est les actions de définition de la théorie s que vous mettez dans la théorie vous enrichissez par rapport à la théorie de base vous enrichissez la théorie en ajoutant ces actions là de définition de ces relations et puis donc il y a la bon peut-être je l'écris donc vous avez rs implique s différentes 0 et le vrai implique rs ou s égale 0 donc ça c'est pour s n'appartenant pas à grand s donc voilà ça c'est les actions qui défi qui vous voyez ils appartiennent à la logique géométrique et ils définissent le sens de la relation r indice s ils disent exactement ce que j'avais dit là bon et puis le dernier action commet qui est important c'est on ajoute l'action de suivant c'est que le vrai dans n'importe quel contexte x implique la la disjonction sur tous les s possible des relations rs en x et là c'est infinie parce qu'on a le droit aux disjonctions infinitaires dans la logique géométrique voilà donc là vous avez une définition de la théorie s alors vous remarquez que dans cette définition la seule chose qui dépend de t0 c'est les relations algébriques la fi implique psi les relations entre formules qui sont des conjonctions finitaires de égalité entre termes c'est la seule chose qui dépend de t0 alors bon ici il y a un certain nombre de remarques c'est que la bon d'abord on s'attend évidemment on ne sait pas mais on s'attend à ce que les théories e et s ne dépendent pas du foncteur comologique t0 qu'on a choisi alors la oui la remarque donc enfin gabbert l'a déjà fait c'est que pourquoi est-ce qu'on rajoute les théories et les sables rs à ça à cause de ces du fait que dans la logique géométrique on n'a pas le droit aux conjonctions aux conjonctions infinitaires or ces symboles rs sont nécessaires d'après la proposition précédente parce que les rs c'est les formules qui vont nous permettre de présenter les objets donc si on veut que la théorie s ait une chance d'être de préfet saut on est obligé de rajouter ces symboles bon et alors maintenant il y a une proposition donc là j'ai presque terminé mais alors donc d'abord là évidemment d'abord ce qu'on a c'est que s est de type préférences première assertion de la deuxième de la proposition alors vous allez définir c comme la catégorie des modèles ensemble liste finiment présentable de s et alors là vous avez que c satisfait bah d'abord elle a un objet initial donc ça c'est évident c'est vous prenez pour corps q et pour et partout ailleurs vous mettez 0 donc il y a un objet initial elle vérifie la propriété d'amalgamation donc aussi la propriété de plongement conjoint puisqu'elle a un objet initial donc son topos associé et atomique à deux valeurs le topos oui bon je vais venir et puis la troisième chose c'est que vous avez automatiquement que les flèches de cette catégorie de modèle sont des monomorphismes alors maintenant la propriété 3 décrit les flèches de cette catégorie donc supposé que vous ayez deux objets dans cette catégorie donc deux ces deux objets sont présentés par deux formules donc l'un dans un contexte x et l'autre dans un contexte y donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire vous avez un omphilite générateur et vous regardez toutes tous les termes que vous pouvez former en ces générateurs et pour chaque terme vous précisez si il doit être nul ou non nul et c'est cette formule là qui vous présente chaque objet de la catégorie finiement présentable alors qu'est ce que c'est qu'une flèche entre ces deux objets et bien donc le résultat dit que ceux-ci les flèches sont définies par les formules de la forme double v flèche de x flèche égal y flèche ou ce truc là est un terme comme on dit vous voyez vous avez une famille de générateur du premier modèle une famille de générateur du deuxième modèle et pour aller de l'un dans l'autre ce que vous devez faire c'est simplement préciser les images du premier qui s'exprime en fonction de donc les images du premier qui s'exprime en fonction des générateurs du deuxième voilà faut faire attention que là ici il faut se rappeler que l'équivalence entre la catégorie c et la catégorie ça tactique c'est à dire les formules c'est une non petit équivalence donc le sens des flèches est renversé et puis alors ici il y a une remarque importante c'est que si vous êtes dans une situation comme ça et bien le s prime est déterminé par le terme qui est là et s on va le noter comme ça c'est l'image de s prime et l'image de s par ce terme c'est quoi bah c'est l'ensemble des termes s tel que s composé avec double v et dans s toutes ces choses sont sémantiquement évidentes et syntactiquement elle demande évidemment des démonstrations voilà donc on a cette proposition et maintenant bon donc on a le théorème qui est là donc je suis dans cette situation donc je peux j'ai une théorie atomique à deux valeurs qui est la théorie voilà elle est atomique à deux valeurs et alors donc le théorème que le théorème 20 dit que ceci et peut s'interpréter comme le topos classifier d'une certaine théorie t que je vais préciser tout de suite donc d'abord vous avez qu'ils ont la signature de t est égale à la signature de s et ensuite bien sûr pour que les modèles soient mojennes vous devez rajouter des actions et là les actions sont explicités donc c'est les suivants c'est que chaque fois que vous êtes dans cette situation vous avez deux rs et rs prime relié par une flèche w et bien vous avez que le r indexé par l'image direct de s en y implique l'existence d'un x tel que la relation rs de x soit vérifiée ainsi que la relation y égale l'image de x par w et donc là vous avez un système complet d'action qui vous définit une théorie t dont le topos classifiant et ce topos atomique à deux valeurs associé à s vous avez un système complet d'action alors donc là il y a évidemment une question qui est posée et ça sera la fin de mon exposé rappelons-nous que la théorie s elle a été définie à partir d'un certain facteur comologique t0 et donc à partir de là on a défini s par une certaine propriété et puis ensuite à partir de s on définitait simplement en rajoutant ses actions et maintenant la question qui se pose c'est est ce que t0 est un modèle homogène de la théorie s autrement dit à ce qu'il définit un point de thé et ça c'est une question sur le fonteur comologique particulier t0 alors pour essayer de comprendre cette question donc pour le moment olivia ne sait pas mais on peut se demander à s'interroger sur le sens de ses actions alors une chose que vous vérifiez c'est que c'est la chose suivante j'ai dit que quand on part d'un fonteur comologique le fonteur comologique vérifie beaucoup de propriété d'exactitude et ses propriétés d'exactitude sont perdues quand vous passez à la théorie s mais en revanche vous vérifiez que tout point de la théorie t autrement dit tout modèle homogène vérifie les mêmes propriétés d'exactitude que t0 autrement dit quand vous passez au modèle homogène vous retrouvez toutes les propriétés d'exactitude que vérifie t0 autrement dit ses actions là vous pouvez les interpréter comme un raffinement des propriétés d'exactitude des fonteurs comologiques et donc la question est posée est-ce que les fonteurs comologiques classiques vérifie ses actions plus fort et là là donc je pense que disons il me semble que bon c'est certainement une question difficile mais quand même plus abordable que la question de relier les entre différents fonteurs comologiques là on est avec un seul fonteur et donc ça c'est une question posée vous voyez complètement inspiré par la théorie des topos sans sans tout le formalisme que je vous ai expliqué je pense qu'on aurait jamais pu imaginer une telle question donc c'est une question qui est posée sur les fonteurs comologiques et donc là bon ben voilà on va disons disons il y a deux soit c'est pas vrai bon si c'est pas vrai ça veut dire que le cas général n'est pas bon donc ça peut amener à raffiner encore la théorie des topos classifiants donc là on confronte la théorie des topos classifiants tel que et des équivalences de morita tel qu'olivia la développée avec une situation concrète qui est la question posée par les relations entre théorie comologiques et si jamais ce cadre là ne marche pas ben certainement en fait disons peut-être que ça va amener à de nouveaux développements de la théorie des topos classifiants en revanche si ça marche ce qui n'est pas exclu ben là ça serait vraiment une raison très très forte de penser que ce cadre est le bon et alors là vous pouvez je voudrais faire une dernière remarque avant de terminer voyez que tout à l'heure je vous ai parlé de ce pont là entre les j'ai dit le voilà si on a une théorie tel qui est classifié par le le topos atomique associé à la catégorie c et bien le fait que t soit complète est équivalent à la propriété de plongement conjoint pour c et ça c'est ça n'est non c'est vraiment extrêmement frappant parce qu'il relit de choses qui n'ont rien à voir alors là ceci en fait a une conséquence à ce niveau là parce que supposé que effectivement les foncteurs comologiques soient des modèles homogènes de cette théorie et supposé aussi que la théorie s'allait la même pour tous les modèles homogènes homogènes ça veut dire pour tous les foncteurs comologiques ça veut dire que tous les foncteurs comologiques vérifie les mêmes relations algébriques ben ça ça aurait pour conséquence que les différents foncteurs comologiques seraient les points d'un même topos atomique à deux valeurs donc en particulier que toutes les dimensions associées seraient les mêmes et là ça c'est vraiment un énoncé que je trouve fascinant parce que dans la la définition de s à partir de tes héros vous n'avez pas la notion de dimension vous voyez que là donc là l'égalité des dimensions si ce cadre là marchait apparaîtrait comme conséquence de choses structurelles c'est à dire les relations algébriques vérifiées par les foncteurs comologiques et éventuellement mais c'est là la grande question le fait de demander que ces foncteurs comologiques soient des modèles homogènes de cette théorie s autrement dit qu'ils vérifient les actions de tes voilà donc je donc c'est alors le voyez que c'est une manière d'envisager la question des relations entre théories comologiques qui est franchement différente de celle des de l'approche à laquelle on est habitué par les catégories tanacaines et donc là toute l'approche est inspirée par la théorie des topos c'est à dire si vous prenez ça que vous vous réfléchissez à ça vraiment vous vous demandez pourquoi un truc comme ça peut être vrai en revanche quand ça a été amené par les considérations sur les les topos que j'ai donné ça paraît beaucoup plus naturel et donc voilà il va falloir j'espère que ça va avancer que je pense raisonnable de penser qu'à un moment on pourra répondre à cette question par la positive ou par la négative voilà