 Je remercie les organisateurs de l'occasion d'intervenir dans ce colloque du Bissentenaire. C'est un honneur et un plaisir. Pour parler non pas directement de Galois, ni même indirectement, vous le verrez, le mot Galois apparaîtra une fois dans cet exposé, repérez-le bien, mais pour parler plutôt du contexte géométrique et de la théorie des groupes de lits. Voilà. Donc pour introduire mon propos, je voudrais présenter deux textes très différents à mettre en regard. Tout d'abord, un texte que beaucoup d'entre vous connaissent, le cours classique de théorie des groupes de lits que Claude Chevalet publie en 46 au presse de Princeton, qui est un grand classique. J'en veux pour preuve que la dernière édition date de 1999, et que c'est la quinzième édition, donc une endurance remarquable. Et donc je n'ai pas besoin de rentrer dedans. Ce qui m'intéresse ici, c'est l'organisation du sujet, comment on introduit la notion de groupe de lits, quel est l'empilement de structures qui conduit à l'entrée dans la théorie des groupes de lits. Il s'agit ici d'un manuel. Donc après un rappel sur les groupes classiques, on a une première structure, celle de groupe topologique. Ensuite, la structure de variété, qui dans le chapitre 3 est traité indépendamment de la question des groupes de lits. Il s'agit de la mise en place, aujourd'hui classique, de la notion de variété, avec une petite nouveauté à l'époque, qui bloque les partitions de l'unité pour mettre en place l'intégration sur les variétés. Et ensuite, on peut mettre une structure de groupe compatible avec la structure de variété. On obtient des groupes de lits, et c'est dans ce cadre qu'on introduit uniquement au chapitre 4, les algebras de lits. Et éventuellement, ces groupes de lits agissent sur des espaces autres que même. C'est ce qu'on a, par exemple, au chapitre 6. Ils peuvent agir linéairement. Et donc ce qu'on va voir, c'est que cette organisation proposée en 46, devenue classique, représente, pour reprendre le gimmick d'Antoine Chamberlois, la théorie des groupes de lits, entre guillemets, qu'on va comparer un petit peu avec la théorie des groupes de lits de lits. Donc l'ouvrage de Chevalet est en délicacé à Élicartan et Hermann Weil, dont on va regarder le rôle. Pour obtenir un contraste, quelques lignes d'Élicartan, dans un texte de conférence à l'ICM de Toronto en 24, un texte qui s'appelle la théorie des groupes et les recherches récentes en géométrie différentielle. Donc je cite. On sait depuis monsieur Felix Klein, programme d'Erlangen, et Sophie Sly, le rôle important joué par la théorie des groupes dans la géométrie. Henri Poincaré a popularisé dans le grand public scientifique cette idée fondamentale, que la notion de groupe est à la base des premières spéculations géométriques. La géométrie élémentaire est au fond la théorie des invariants d'un certain groupe, le groupe des déplacements ocligliens. Elle en est fait pour but de l'étude des propriétés des figures qui se conservent par un déplacement arbitraire. Il évoque ensuite les géométries projectives et conformes. Je reprends la citation. Dans chacune de ces géométries, on attribue pour la commodité du langage à l'espace dans lequel les figures étudiées sont localisées, les propriétés géométriques elles-mêmes du groupe correspondant ou groupe fondamental. Chacun de ces espaces est homogène en ce sens que ces propriétés restent inaltérées par une transformation du groupe fondamental correspondant. Plusieurs années avant le programme d'Erlangen, Bernard Riemann avait introduit dans son mémoire célèbre du bord des hypothèses et une vache des géométries sous compte de Ligen des espaces non homogènes au sens qui vient d'être donné à cette expression. Ces espaces ont surtout pris une importance considérable depuis que M. Einstein, par la théorie de la relativité généralisée, a essayé, en identifiant notre univers à un espace de Riemann, de réunir en une seule et même théorie la gravitation, l'optique et l'électromagnétisme. Pour l'optique et l'électromagnétisme, ça a été fait un petit peu avant. Le mouvement d'idées auquel cette théorie a donné naissance a conduit par des généralisations importantes à des espaces nouveaux. Il suffit de citer les espaces de M. Weyl et les espaces de M. Eddington. À première vue, la notion de groupe semble étrangère à la géométrie des espaces de Riemann, car il ne possède l'homogénéité d'aucun espace à groupe fondamental. Quelle rôle la notion de groupe joue-t-elle ou plutôt doit-elle jouer dans ce champ nouveau de la géométrie ? Est-il possible de faire entrer dans le cadre suffisamment élargi du programme d'Erlangen toutes les géométries nouvelles et une infinité d'autres ? C'est ce que je me propose d'examiner. C'est donc ce que Élicartan se propose d'examiner en 1924 pour présenter sa théorie propre des espaces généralisés. En s'appuyant sur l'apparente incompatibilité entre les deux grands points de vue fondationnels sur la géométrie, en laissant de côté les choses à l'Isle-Bert, le point de vue de Klein est fondé sur les groupes et le point de vue de Riemann, où apparemment les groupes nous dit Élicartan en surjoint un peu la scène, ne jouent pas de rôle. Donc deux textes bien différents en termes de période en termes de genre, le premier étant un manuel, le second, une conférence à l'ICM, et pourtant un priori sous des théories différentes puisque le second texte porte sur les débats internes à la géométrie différentielle au début des années 20 et faisant suite aux généralisations de la notion d'espace liées à la relativité générale. Donc je voudrais intégrer ces deux textes dans un même récit historique en montrant que la notion de groupe, la notion de groupe de lits, présentée par Chevalet, et qui est devenue depuis classique, date en fait d'une réorganisation théorique des années 20. Une réorganisation théorique des années 20 qui, elle, est en rupture avec le cadre assez stable posée par Li dans les années 1880 et qui demeurent restables jusqu'à largement la fin des années 20. Une rupture résultant de débats et de travaux du début des années 20 sur ce dont Cartan parle ici le rôle que la notion de groupe doit jouer dans les nouvelles géométries différentielles. Donc nos propos s'articulera en deux temps. Tout d'abord un point sur ces débats sur le rôle de la notion de groupe en géométrie différentielle au début des années 20 où on verra que les auteurs font jouer des rôles différents à la notion de groupe et des rôles qui évoluent avec une crénologie assez rapide sur la période 1918-1924. Il ne s'agira pas d'un panorama exhaustif mais d'un gros plan sur les cas de Hamann-Weil et du Hélicartan. On verra ensuite que ce choix de faire jouer un rôle fondamental à la notion de groupe n'est pas un choix partagé par tous les mathématiciens de l'époque. La question de poser par Hélicartan en introduction de son papier de 24 n'est pas entièrement rhétorique. Et ensuite dans un deuxième temps, montrer que si ces travaux de la première moitié des années 20 en géométrie différentielle, il s'agit en fait du début de la notion de connexion, utilise la théorie des groupes de lits. Elles utilisent encore la théorie classique à la lit, donc sanguillemets, mais que le prolongement de ces travaux vont amener une modification de la notion de groupe de lits elle-même. Entre le premier temps et le deuxième temps, on va passer de groupe de lits comme moyen d'études en géométrie différentielle à la notion de groupe de lits comme objet d'études. Et la notion même de groupe, il va arriver quelque chose à la notion de groupe en particulier. On va être amené à distinguer des choses qui n'étaient pas ou guère distinguée, on devra nuancer dans la période précédente à savoir l'algebra de lits, vu comme groupe infinitesimal, les germes de groupes de lits ou les groupes de lits locaux et enfin les groupes de lits dont on peut éventuellement étudier les propriétés globales. Donc premier temps, quelques éléments sur le rôle que l'on fait jouer ou non aux groupes de lits dans ces nouveaux fondements de la géométrie différentielle, ces extensions des notions classiques de la géométrie différentielle. Et donc, par exemple, si je suis vile avec sa géométrie purement infinitesimale, je donne les deux grands textes, l'article de Rocher dans le Mathématische Seitzschrift de 1918, la Thierry étant intégrée à la troisième édition de C'est Quoi en Français, Espaces en matière, en 1919. Donc cette notion de connexion affine, introduite par Veil en 1918, ne repose pas fondamentalement sur la notion de groupe. Donc les points essentiels de la théorie de géométrie purement infinitesimale, tout d'abord découplement entre la notion de transport de direction et la notion de transport de segment. Donc Veil, après Heisenberg en fait, qu'il avait fait dès 1916, introduit ce qu'on appelle une connexion affine aujourd'hui, donc une notion de transport de direction qui ne suppose que la structure différentielle, pas de structure métrique, contrairement à ce que faisaient les Vigivitas. Donc même si ce ne se voit pas, les formules sont des citations de Veil. Donc les X sont les paramètres de la variété. J'ai un voile pudique sur ce que Veil appelle variété en 1918, ce n'est pas la question aujourd'hui. Donc les X sont les coordonnées sur la variété, les XI, ce sont les composantes d'invecteurs à attacher un point de la variété. Et donc ce que Veil appelle une translation infinitesimale sur la variété, donnée par une série de DXI, correspond une variation infinitesimale des vecteurs attachés au point qu'on translate, variation infinitesimale, notée DXI. Et donc on demande que tout soit linéaire, à savoir, DXI dépend linéairement de XI et les composantes de l'action linéaire sont elles-mêmes des formes linéaires en les composantes du déplacement infinitesimale. Ce sont les deux formules. Donc rien n'est supposé en termes de structure métrique sous-jacente. C'est en quoi on a une généralisation considérable par rapport à ce qui a été considéré précédemment. Veil se restreignant au cas symétrique, donc le symbole Christoffel est symétrique par rapport aux coefficients Ba, R et S. Il demande l'existence de coordonnées géodésiques. Ensuite, une autre structure que la structure affine, ne dépendant que de la structure différentielle, ce que Veil appelle le transport de segments. Ce sont les notions métriques qui réapparaissent ainsi. Veil part d'un DS2. Il introduit des degrés de liberté supplémentaires en introduisant les changements de jauge, les réétalonnages, en considérant comme équivalent du point de vue géométrique deux DS2 qui se déduisent l'un de l'autre par multiplication ou par une fonction, ne s'annulant pas. Ce qui interdit, par exemple, de dire que deux vecteurs attachés à deux points différents ont même longueur, parce qu'on brouille à dessin les cartes. Pour retrouver ce type d'information, il faut réintroduire une structure supplémentaire. Ce sera la connexion de jauge introduite par Veil. Il appelle segments dans l'espace tangent à chaque point les classes d'équivalence pour la forme semerimanienne qu'il s'est donnée. Il s'agit d'un transport de segments indépendamment des directions, alors que le transport affine transporter des directions indépendamment des segments. Une fois que ces deux structures a priori indépendantes sont mises en place, Veil énonce et démontre ce qu'il regarde comme le fait fondamental de la géométrie infinitésimale. Donc pour nous, le fait que la connexion de l'évite Chevita est déterminée par la métrique, donc je cite Veil, il s'avère par conséquent que dans une variété métrique, la notion de transport parallèle infinitésimale d'un vecteur est fixée de manière univoque par les hypothèses posées. Je considère ceci comme le fait fondamental de la géométrie infinitésimale avec la métrique d'une variété est en outredonné la connexion affine. Le principe du transfert de longueur ou de segment apporte à lui seul un principe de transfert de direction ou en termes physiques, l'état de l'éther détermine le champ gravitationnel puisque dans cet article, il ne s'agit pas que de géométrie, mais de montrer que Veil pense avoir établi une nouvelle théorie unifiée unifiant la gravitation et l'électromagnétisme. Donc le théorème selon laquelle la métrique détermine le transport parallèle, vous dit traduit en termes de physique que le potentiel de la théorie de Maxwell, le potentiel électromagnétique, détermine le champ de gravitation ce qui suivira l'incrédulité générale et Veil, pour beaucoup de bonnes raisons, sera amené à abandonner sa théorie physique, la théorie géométrique restant. En 1919, Hilbert qualifie ce raisonnement de physique égalienne ce qui n'est pas un compliment sous sa plume, ni sans doute sous la plume de grand monde. Mais bon. Alors ce qui est intéressant, c'est qu'assez vite, et là on est en 1921, Veil reprend le raisonnement mais le reprend d'une manière différente et qui, elle, va faire intervenir les groupes de manière fondamentale. Avant de lire la citation, quelques éléments de contexte, sans quoi elle est peu parlante. Donc il s'agit dans le texte sur le round problem, sachant que dans le texte round problem, on n'a pas la démonstration, la démonstration est donnée dans l'article de recherche sur D'Iraïn-Sichia Attica-Ajter Pythagoration Mass Pustiment, donc le caractère distingué, unique, remarquable de la métrique pythagoricienne. Donc il s'agit de procéder par analyse régressive. Autrement dit, on garde comme point d'arrivée souhaité l'œuf est fondamental de la géométrie infinitesimale, mais on souhaite réélaborer la théorie qui aboutit à ce résultat. Donc en 1918, on partait quand même d'un ds2. Veil, en 1921, cherche à fonder ce qui était posé en 1918, pourquoi partir d'un ds2, et ensuite brouiller les cartes par changement de jaune. Et donc on cherche à fonder ce choix du ds2, et pour fonder ce choix du ds2, on va exprimer des demandes, proposer une théorie axiomatique de ce que doit être une théorie géométrique, et les termes dans lesquels on va proposer ces demandes sont les termes de la théorie des groupes, précisément des algebras de lit. Donc on reprend, donc la veille fait le lien avec les raisonnements de la théorie de Helmholtz-Li, donc le round-problem au sens classique, ce qui à l'époque s'appelle le round-problem de Riemann-Helmholtz. Donc il s'agit de fonder en raison la préférence pour les structures semi-rimaniennes en s'appuyant sur des axiomes énoncés en termes de transformations infinitésimales. Donc je cite Veil, donc il veut formuler sa théorie en exprimant juste les bons degrés de liberté. Donc on a à la fois un postulat de liberté dans le cadre donné par la structure de la métrique. Ce modelage quantitatif doit être entièrement libre. Je ne pourrais pas tout expliquer, on est après 20 pages de textes et dans un langage qui n'est un peu qu'à Veil lui-même, il doit pouvoir subir des variations virtuelles arbitraires. On demande que la structure ait beaucoup de libertés. Bien entendu, le postulat de liberté ne suffit pas à lui seul à restreindre la nature de la métrique de l'espace. Ici, le terme métrique est interment encore indéfinie. On cherche à caractériser ce qu'on va appeler une métrique. Dans le développement de la géométrie riemannienne et de la théorie de la relativité, un fait s'est affirmé toujours plus clairement comme le plus fondamental, un fait sur lequel repose la possibilité de l'ensemble du développement à savoir le champ métrique détermine sans ambiguïté la connexion affine. Ce pourrait-il que l'on ait découvert dans cette condition positive, jointe au postulat de libre orientation, ce qu'il y a de caractéristique dans la métrique pittagoricienne, au sens semi-riemannienne, pittagore bien élargi, quel que soit le modelage quantitatif que puisse avoir reçu le champ métrique, toujours dans les limites de la nature de la métrique, il doit y avoir parmi tous les systèmes de transport parallèle infinitesimal des corps vectoriels correspondants aux différentes coordonnées, un et un seul système pour lequel le transport parallèle est aussi une propagation congruente, c'est-à-dire qu'on serve toutes les relations métriques. On doit répondre à cette question par l'affirmative. Donc, il réénonce dans un langage rhétorique, pour l'instant, sans formule de type de degré de liberté que sa théorie doit viser, en disant, je veux viser le même fait fondamental. Donc ensuite, vient une reformulation de cette formulation rhétorique en termes d'algèbres de lits et va, il énonce le théorème qui est démontré dans l'article de recherche, à savoir, le groupe infinitesimal GQ des transformations linéaires s'écartant infiniment peu de l'identité, donc des transformations infinitesimal hydestes, l'algebra de lits, et conservant une forme hydratique non dégénérée, satisfait à ces trois conditions, j'affirme qu'il n'existe pas d'autre groupe G les vérifiant. Donc, il a mis au point un système d'axiaume énoncé dans le langage de la théorie des groupes de lits, mais justifié par une réflexion longue sur l'histoire du round-problem depuis Riemann et Helsmolz, et il a montré que seuls les algebres des groupes de lits conservant une forme hydratique non dégénérée répondent à sa question. On a donc raison de considérer que les structures semi-rimaniennes jouent un rôle distingué lorsqu'on veut fonder la géométrie différentielle. Nudy Hammondweil. Donc, on est arrivé à un rôle fondamental pour les groupes. Si je mets en regard avec ce que propose Élicartan, on a des choix techniques assez différents et dans l'ensemble, une construction théorique sensiblement différente qui, elle, repose d'emblée sur la notion de groupe, mais on va voir tout de même qu'il y a deux temps qu'on peut distinguer la notion de 23-24 n'est pas la même que celle de 25. Donc, là, j'utilise, comme Artifice, exactement le même, Artifice de présentation, le même que celui d'Élicartan dans son article en plusieurs morceaux sur les variétés à connexions affines et la théorie de la relativité généralisée. Donc, là, Élicartan nous rappelle le formalisme du repère mobile dans le sens le plus classique du monde. Imaginons que l'on fasse correspondre à chaque point m de l'espace, sous-entendu le R3 Euclidean, c'est vraiment l'introduction heuristique, un système de référence cartésien d'origine m, soit 1, 2, 3, les trois vecteurs qui définissent avec m ce système de référence. Lorsqu'on fait varier infiniment peu les paramètres, le point m et les vecteurs E1, E2, E3 subissent des variations infiniment petites qui sont des vecteurs et qui sont par suites extrémables linéairement au moyen d'E1, E2, E3, soit, vous l'avez sous les yeux, les omega i et omega ij sont linéaires par rapport au différentiel d'Eu. D'Eu étant les paramètres du repère mobile, donc un paramètre si on a le repère de Serf Renet et ainsi de suite. Ces 12 formes de Pfaf, donc forme de Pfaf, une informe différentielle, permettent en somme de repérer le système de référence d'origine m plus dm par rapport au système de référence d'origine m. On peut aussi dire qu'elle définisse le petit déplacement affine qui permet de passer de celui-ci à celui-là, donc la lecture passive et active de la transformation infinitésimale. Et donc la présentation qu'adopte Hélie Cartan dans cet article, c'est une fois qu'on a formalisé de cette manière la notion classique de repère mobile, Serf Renet, ou sur une surface de l'espace clédiens tridimensionnel classique. Hélie Cartan complexifie en plusieurs temps. Premièrement, il nous dit ici j'ai affaire à des dérivés puisque j'ai un repère mobile qui dépend réellement comme une fonctionnellement d'une famille de paramètres. Donc première étape, ce système, je pourrais le considérer comme un système différentiel ne résultant pas forcément d'une dérivation. Donc on se donne un repère mobile mais sans avoir réellement le repère mobile au départ. Donc dans ce cas, si je considère simplement les systèmes différentiels de ce type, je n'ai pas a priori le fait que la dérivée extérieure des formes différentielles est nulle. Et donc ça me donne de conséquences. D'une part, les dérivés extérieurs de ces formes différentielles font apparaître des fonctions qui ont une signification gémetrique, à savoir quand on dérive la première forme différentielle, on voit apparaître la torsion et lorsqu'on dérive les DEI, on fait apparaître les courbures. Enfin, la courbure, le tenseur de courbure. Autre chose, si on ne suppose pas que ces DM et DEI sont elles-mêmes des dérivées, on perd l'intégrabilité a priori et donc l'intégration reste possible l'ont des chemins, des EDO linéaires, mais a priori deux chemins différents partant du même point et arrivant au même point ne conduisent pas au même repère, quand bien même on serait parti du même repère au point de départ. Donc on perd l'intégrabilité, on gagne la courbure et la torsion et autre complexification, on peut considérer que les formes différentielles omega-i et omega-ij dépendent d'un nombre quelconque fini de paramètre. Donc, par exemple, on pourrait considérer de repères mobiles pour lesquels un point donné est associé à une infinité continue de paramètre. Et donc c'est ce cadre, partant du cadre très classique reformulé via les formes de Pfaf que carton élargit progressivement dans cet article. Oui, bien sûr, j'ai oublié une étape de généralisation. Bien sûr, on n'a pas supposé que la matrice des omega-ij est une matrice infinitézimale du groupe Euclidean et donc on a le droit d'avoir une matrice d'un forme différentielle arrivant dans n'importe quel algebrao de lit. Ça contribue quand même à la généralisation de la notion d'espace. Ce qui est intéressant, c'est qu'assez vite, Elie Carton reformule lui-même cette première généralisation et cette reformulation va faire apparaître le rôle de deux groupes. On avait jusqu'à présent un groupe. La connexion est donnée par la donnée d'un repère mobile et donc de un forme différentiel dépendant d'un nombre quelconque de paramètre à valeur dans une algebrao de lit quelconque. On avait à priori une algebrao de lit déterminant le type de géométrie généralisée auquel on avait à faire. A partir de 1924, on va voir un deuxième groupe intervenir. Donc là, c'est le texte que j'avais brièvement cité en introduction, donc c'était la question de la compatibilité entre le point de vue de Riemann et le point de vue de Klein sur la géométrie. Donc voilà la réponse qu'apporte Elie Carton. A première vue, la notion de groupe, je l'avais citée, semble étrangère à la géométrie des espaces de Riemann car elle ne possède l'homogénéité d'aucun espace à groupe fondamental. Donc attention, groupe fondamental, ce n'est pas du tout P1. C'est bien le... P1 va arriver dans pas longtemps. Donc attention à être attentifs. Néanmoins, si un espace de Riemann ne possède pas une homogénéité absolue, il possède cependant une sorte d'homogénéité infinitésimale. Au voisin âge immédiat d'un point donné, il est assimilable à un espace euclidean. On est dans le cas Riemannien. Toutefois, si deux petits morceaux voisins d'un espace de Riemann peuvent être assimilés chacun à un petit morceau d'espaces euclidean, ces deux petits morceaux sont sans lien entre eux. Ils ne peuvent pas, sans convention nouvelle, être regardés comme appartenants à un seul et même espace euclidean. Si il réintroduit la notion de connexion de Lévi-de-Chivita, on peut imaginer en chaque point d'un espace de Riemann un espace euclidean fictif tangent dont ce point et les points infiniment voisins font partie. La définition du parallélisme de M. Lévi-de-Chivita permet alors de raccorder en un seul espace euclidean tangent deux points infiniment voisins quelconques. Si l'on considère dans l'espace de Riemann une ligne continue AB, on peut raccorder deux proches en proches en un seul les espaces euclidean tangents aux différents points de AB. Alors, je résume la suite. Donc, Élicarton propose une lecture de ce raccordement, le long de la chemin, en termes de développement, puisque ici, c'est la structure Riemannienne dans un espace euclidean. Donc, il rapprochera de notions classiques de la géométrie différentielle. Il ensuite rappelle le caractère non-holonome de ce raccordement de proches en proches. Donc, a priori, le résultat dépend du chemin suivi. C'est là que le terme non-holonome intervient alors qu'il n'était pas utilisé dans l'article 2324. Sur le même modèle, une fois qu'on a traité le cas euclidean, on traite le cas projectif pour montrer la variété des géométries envisageables sous ce point de vue du développement de proches en proches d'un espace non-holonome, dans un espace holonome, mais uniquement le long de la chemin. Et donc, le cadre général avec le premier groupe et le suivant, d'une manière générale à tout groupe continu g correspond... Donc, groupe continu, c'est entendre groupe de lits, groupe de lits connexes, en fait. Dans la conception de M. Kleine, correspond une géométrie holonome. Donc, la théorie de Kleine devient la théorie des espaces holonomes, homogènes. Dans la nouvelle conception, il lui correspond à ce groupe de lits, une infinité de géométries non-holonomes. En résumé, dans les généralisations précédentes, l'idée directrice et la suivante, dans les espaces holonomes au sens de M. Felix Kleine, tout est commandé par le groupe fondamental et ses différentes opérations. Ce sont ces opérations qui font de l'espace un tout organique. Dans les espaces non-holonomes, ce sont encore les opérations du groupe qui sont un principe d'organisation, mais uniquement de proches en proches. C'est précisément en analysant ce que cette organisation a d'un complet, que nous allons arriver au rôle tout à fait nouveau, que va jouer encore la notion de groupe dans les nouvelles géométries. Le second groupe qui arrive, vous vous en doutiez, c'est le groupe de l'olonomie, donc petit g, je cite carton, à tout espace, un rappel qui ne l'aurait pas en tête, il s'agit de regarder les transformations infinitéesimales induites par les chemins fermés. Donc, à tout espace non-holonome de groupe fondamental grand g est associé à un sous-groupe petit g de g qui est son groupe de l'olonomie et qui ne se réduit pas à la transformation identique, qui ne se réduit à la transformation identique que si l'espace est parfaitement holonome. Le groupe de l'olonomie d'un espace mesure en quelque sorte le degré de non-holonomie de cet espace de même que le groupe de Galois d'une équation algébrique mesure en quelque sorte le degré d'irrationalité des racines de cette équation. Donc, c'était l'unique mention de Galois dans mon exposé. Et donc, dès cet article de 1925, Élicartan indique plusieurs usages possibles du groupe de l'olonomie. Donc, premièrement, on vient de voir qu'il reforme mules en termes de réduction à l'identité ou non du groupe de l'olonomie, ce qui était annoncé précédemment en termes d'annulation ou non d'un variant différentiel, courbure et torsion, et d'autres invariants différentiels quand on a d'autres structures que les structures semi-rimaniennes. Le groupe de l'olonomie assez vite, à partir de 1925, a aussi codé une information topologique puisqu'on y retrouve en fait aussi le PIEN. Le groupe de l'olonomie n'a pas été un groupe de lits connexes et donc c'est le fait qu'il présente plusieurs composants de connexes capturant dans ce groupe de l'olonomie une information topologique sur l'espace étudié. Et, par exemple, en 1927, une autre utilisation en termes de géométrie subordonnée au sens de Klein, on dirait de structures subordonnées en termes de fibrer de nos jours avec Erasmann. Donc, je cite Cartan d'une manière générale, tout espace non-olonomie à groupe fondamentale grand G, admettant pour groupe de l'olonomie un sous-groupe petit G de grand G pour être regardé comme un espace non-olonomie admettant pour groupe fondamentale tout sous-groupe de G contenant lui-même petit G comme sous-groupe. Petit test, qui peut l'arriciter. Non, c'est... Mais bon, on voit bien ce que ça peut donner plus tard. Alors, juste à titre... Pour prendre un peu de recul, j'ai montré deux approches différentes, celle de Weyl et de Hélikartan, qui évoluent toutes les deux et sans d'ailleurs se rejoindre dans la période 18-24, mais toutes les deux faisant jouer au groupe de lits un rôle fondamental dans la nouvelle conception des espaces généralisés. Ce point de vue n'est pas universelment partagé. Je rappelle qu'au départ, dans la théorie de Weyl, la notion de groupe ne jouait aucun rôle particulier. C'est tel cas non plus dans la théorie de Hessenberg qui proposait la notion de connexion affine générale. Je crois pas que le mot groupe apparaisse dans l'article de Hessenberg. Strouten en 26 propose un autre cadre que celui de Cartan pour faire entrer dans un même cadre à la fois le point de vue de Klein et le point de vue de Riemann. Et donc, c'est moins par les groupes que par un autre élément de la théorie de Klein, à savoir la notion d'absolu, d'adjonction d'une absolue. Ce sera sévèrement critiqué par Paradis Cartan. Et on peut vraiment être tout à fait contre, c'est par exemple le cas de Oswald Weyblen, je cite, mais ces nouvelles relations, donc il parle de Cartan, entre la théorie de groupe et la théorie de géométrie, c'est important et foudreful. Chaque nouvelle étape en avance fait que tout le monde semble plus compliqué que l'avant. La théorie de Klein de géométrie semble montrer les mêmes symptômes que la théorie physique qui est passée. Les devises plus compliquées ont été introduites afin d'améliorer les faits de nature. La fête, je dirais, sera la même chose que la théorie physique. Elle devient classique et ses limitations, ainsi que ses mérites, sont reconnaissantes. Donc sachant que c'est une conférence faite à l'ICM de 28 dans la session de géométrie qui est présidée par Eli Cartan, donc qui ça a dû faire très plaisir, de se voir relégué en direct et en public au rang des vieux machins. Alors Weyblen reviendra de meilleurs sentiments assez vite, puisqu'en 1931, la fondation de la géométrie différentielle qu'il propose avec John Henry Constantine Whitehead repose entièrement sur la notion de pseudo-groupe, donc ce n'est pas la notion de Cartan. Mais les groupes reviendront quand même avec les pseudo-groupes, et en plus, le cadre axiomatique proposé par Weyblen et Whitehead a pour but, en fait, de capturer les résultats globaux récents obtenus par Cartan et par Hopf. Oui. Donc je passe à la deuxième partie de l'exposé. On va voir que dans le prolongement de ces réflexions sur comment rendre compatibles les points de vue de Riemann et de Klein, ou quel rôle faire jouer dans les nouvelles théories de la géométrie différentielle, celle reposant sur la notion de connexion, ces réflexions et la recherche de démonstration de théorèmes qui sont issus de ces réflexions vont amener un changement de regard sur les notions classiques de la théorie des groupes de lits, et vont amener à faire des groupes de lits des objets de recherche même, il l'avait été, mais dans le cadre de l'étude des espaces géométriques. Donc, par exemple, ce point est bien connu et tout à fait traité à fond dans le livre de Thomas Hawkins sur l'histoire de la théorie des groupes de lits. Je signale d'ailleurs que, dans un mois, sera soutenu une thèse qui s'annonce excellente sur Weyl et la théorie des groupes, la thèse de Christophe Hecces bientôt soutenue à Lyon. Donc, avant de lire la citation quelques éléments de contexte, donc, ici, la suite des réflexions de Weyl sur les fondements de la géométrie l'amène à étudier des problèmes internes à la théorie des algebres de lits. En particulier, ici, le problème traité, c'est celui de la complète réductibilité des représentations linéaires des dimensions finies, des algebres de lits semisimples complexes. Donc, cartant avec classifié, classé, en 1913-1914, les représentations linéaires irréductibles, des algebres de lits semisimples réels et complexes, enfin complexes et réels, si on veut garder l'ordre d'orthronologique, mais on n'a pas encore le théorème de complète réductibilité, à savoir le fait que toute représentation de dimension finie se décompose en somme directe de représentation irréductible. Donc, l'idée de la preuve dans laquelle Weyl se lance, donc, dans le premier article, il donne la preuve pour le groupe spécialinaire et il indique des éléments de preuve pour d'autres groupes semisimples classiques, et la preuve totalement générale pour tous les groupes semisimples, les quatre cas classiques et les autres, et donnés dans l'article de 25-26. Donc, l'idée est de reprendre deux trucs, à la fois le Unitarian Trick récemment utilisé par Schur et le trick, le Kunstgriff plus ancien de Horwitz, consistent à s'inspirer du cas de représentation des groupes finis, mais dans le cas compact, et donc d'obtenir des formes invariantes par Moyen-Âge. Evidemment, dans le cas fini, ça ne pose pas de problème. Dans le cas des groupes continu, on doit moyener par rapport à la mesure invariante sur le groupe, ce qui marche quand même mieux si le groupe est compact. Le problème de Weyl pour cette démonstration c'est que si on a une représentation linéaire du groupe compact, elle induit bien sûr une représentation linéaire de l'algebra de l'I, mais si on a une représentation linéaire de l'algebra de l'I d'un groupe futile compact, elle n'induit pas forcément une représentation linéaire du groupe de l'I de départ, et donc le procédé qui consiste à intégrer sur le groupe de l'I pour obtenir une forme sporadique invariante nous garantissant la complète réductibilité peut être mise en défaut. Donc pour cela, Weyl introduit des revêtements. Donc je cite, à partir d'une représentation du groupe infinitésimal GU0 à N²-1, paramètres réels, on obtient par intégration suivant l'I, la matrice T pour tous les T de GU appartenant à un certain voisinage de l'élément unité. Si on a une représentation linéaire de l'algebra, elle induit une représentation linéaire du groupe du moins au voisinage de l'unité. Mais si l'on choisit un T0 dans ce voisinage, on peut prolonger la représentation au voisinage de T0 sur lequel est appliqué le voisinage initial par la translation de E vers T0. On voit bien que le processus de prolongement à y terrer ne rencontre jamais de frontières, mais T n'est pas nécessairement univoque sur GU. Donc, on n'a pas de problème de prolongement analytique. On a un cas translaté, mais on n'a pas forcément un prolongement inivoque. Le prolongement est univoque que sur une figure de recouvrement, l'Uberlag, Rungske-Bilder, se prolongeant sans ramification ni frontières au-dessus de GU. Je dis d'une figure qu'elle est simplement connexe, si toute courbe continue fermée peut, sur elle, être continuement contractée en un point, la plus forte de ces figures de recouvrement non ramifiées, non limitées au-dessus d'une figure donnée, la surface de revêtement universel, les guillemets sont de vails, qui jouent un si grand rôle dans la théorie l'uniformisation et simplement connexe. Cette figure de recouvrement universel GU étoile au-dessus de GU est le véritable groupe abstrait dont on étudie la représentation. GU n'est qu'un de ses représentants et en vérité, une représentation raccourcie et non homomorphe lorsque la figure de revêtement est à plusieurs feuillets. Donc, il est amené à étudier la question de la capacité du revêtement universel, dont il a besoin pour intégrer. Donc, il l'obtient en étudiant le groupe fondamental des groupes de lits semi-simples qui sont étudiés. Et donc, ce qu'on voit, c'est que pour résoudre un problème formulable dans le langage classique de la théorie des algebras de lits, d'ailleurs, un problème d'algebra. Il s'agit de la complété de l'humilité, c'est dur à dire, des représentations linéaires des algebras de lits semi-simples. Donc, pour résoudre ce problème en soi purement algébrique, la méthode de démonstration demande qu'on établisse la capacité du groupe, cette capacité ou du moins du revêtement universel du groupe, ce qui demande, entre autres, d'avoir une information sur le groupe fondamental du groupe. Donc, tout d'un coup, tout un tas d'éléments topologiques, groupes fondamentaux, revêtement universel, qui n'avaient joué jusqu'à présent aucun rôle dans la théorie classique des groupes de lits, d'autres éléments jouent un rôle d'ailleurs, l'étude par exemple de la surjectivité de l'application exponentielle. Pour faire tourner la théorie des groupes de lits au sens classique, on n'a pas besoin de s'interroger sur la surjectivité de l'application exponentielle. Ici, on en a besoin parce que pour l'étude du groupe fondamental, on a besoin de paramétriser le groupe par l'application exponentielle et donc on veut savoir si on atteint réellement toutes les transformations. Donc, ce qui est intéressant, un point de remarque, c'est que Klein le dit ici, les techniques qu'il importe ici en théorie des groupes de lits, pour lui, sont les techniques qui viennent de la théorie de l'uniformisation. Il le dit ici pour la théorie des revêtements universels et c'est le cas aussi pour la question de la surjectivité de l'application exponentielle, puisqu'en fait, il utilise ce qu'en théorie de l'uniformisation, on avait appelé la méthode de continuité. Donc, ça fait le lien avec la conférence du professeur Greyer sur la question de l'uniformisation des groupes, des groupes algébriques par les fonctions auto-morphes. Alors, je viens de vous dire que l'alertour qui semblait direct entre groupe et algèbre dans la théorie classique de lits, tout d'un coup, n'est plus aussi direct que ça, puisque un algèbre d'un groupe de lits peuvent correspondre plusieurs groupes de lits, dont la topologie globale joue finalement un rôle y compris dans la théorie des algèbres de lits. Donc, c'est ce point qui apparaît tout à fait clairement dans la preuve de Veil. Du coup, on est quand même amené à se demander si Veil est vraiment le premier à se demander si la topologie globale du groupe de lits joue un rôle. On en est à presque 50 ans de théorie des groupes de lits au moment où Veil publie son article. Alors, cette question intéressante, enfin, elle m'a intéressé, puisque j'ai fait une thèse dessus, je donne quelques éléments. Donc, par exemple, le texte est assez amusant à lire. Les critiques de lits, une variante de théorie de lits, continuez les chaînes groupes. Vous allez voir, c'est zère critiche. Donc, c'est publié dans le Yarsperich d'Adwitz-Mathébatika Ferenegung. Donc, c'est vraiment une arène publique. Et donc, c'est une attaque en règle de la théorie des invariants différentiels proposés par Li. Je te dis, lui, étant représentant de la théorie des invariants algébriques. Donc, quelques citations, vous allez voir, ça va crescendo, ça commence fort. L'erreur fondamentale de Li, donc il faut tout d'abord rappeler que Li a voulu exposer sa théorie générale des groupes finis et continu, les propriétés qui leur sont communes à tous. Mais par nature même des choses, cela ne pouvait être obtenu qu'en acceptant de renoncer à embrasser tout l'espace et à considérer et à prendre en général la totalité des transformations du groupe. Jusqu'à présent, il y avait à peu près consensus. Ça se gâte après. Comme une exigence exotique imposée de l'extérieur, l'indubitable compréhension théorique qu'il a, Li, que ses notions et théorèmes non validités que dans des régions limitées n'a jamais vraiment pris racine dans l'esprit à la créativité intuitive de Li. Ça pourrait sembler un compliment, pas longtemps. Elle ne peut guère être ressentie autrement que comme une importune entra va faire tomber à la première occasion. Ainsi, comme nous l'avons vu, dans l'espace total, il ne parle que des invariants multivoques, autrement que s'ils étaient univoques. Et à chaque élimination d'équations surnoméraires, demeure de sorte une équation possible localement, inclinen, avec certaines précautions, trouvent des applications illicites dans les situations d'un tout autre type. Il fait remarquer et il signale quelques erreurs réelles, précises dans les traités de Li, que Li, lorsqu'il a affaire à un invariant multivoque, choisit des branches comme ça luchante et ne se préoccupe pas du tout des phénomènes de multivocité pouvant se présenter par prolongement analytique, ne se préoccupe pas du tout des singularités qui pourraient se poser obstacles au prolongement analytique, et pourtant, entire des conclusions en termes de théorie des invariants différentiels, des courbes et des surfaces. Donc, c'est cette application illicite de raisonnement valide localement, mais à des conclusions qui se voudraient globales que critique sévèrement, je tout dis, et donc, on monte d'un cran. Donc, dans sa critique, nous pensons entre autre chose à l'usage abusif de certains termes, en général, quelconque, toujours, tous, chaque. Aux hypothèses introduites implicitement, autrement dit, implicites, donc manquantes, aux définitions sans-rivenettes et au concept caméléon, enfin et surtout aux contradictions dont la littérature est pleine. Voilà, et j'ai pas dit le pire, il y a vraiment un endroit où il dénonce le culte du verreau qui entourlit comme une maladie politique, donc il faut extirper le mal à la racine. Voilà, je sais pas s'il a été réinvité l'année d'après. Alors, ce qui est intéressant, c'est de lire la réponse de Engel, c'est après la mort de Lys, à qui ça aura été épargné, mais voilà, Engel répond, voilà, je vous invite à lire la réponse. Alors, ce qui est intéressant, c'est que c'est critique, par ailleurs, argumenté, au-delà de leur caractère vehement, ma première impression que je te dis est en train de dénoncer la théorie des groupes de Lys comme une vaste imposture, non, quand même, en fait, est-ce que ça aurait déclenché, vers 1908, un programme de recherche globale en théorie des groupes de Lys en disant, certes, c'est notre théorie à ce défaut-là, nous qui faisons de la théorie des groupes de Lys, mais regardez, nous allons nous y ateler. C'est ce qu'on aurait pu répondre, Engel. Pas tout à fait, en fait, on a plutôt à faire un armistice en disant, ben, chacun chez soi et une division du travail, certes, nous, la théorie des groupes de Lys est locale et c'est comme ça. Et, cher maître Stoudi, vous avez bien raison, pour les problèmes globaux, la théorie des invariants algébriques est tout à fait ce qu'il faut. Donc, on trouve un écho de cet armistice ou de cette paix armée, si on est du côté de Stoudi, dans l'article de Cartan 1915 pour l'encyclopédie des sciences mathématiques. Donc, je ne lis pas. Par ailleurs, Éli Cartan n'est pas non plus tout à fait insensible aux questions globales, mais voilà ce qu'il écrit, par exemple, en 1922, dans ses leçons sur les invariants intégraux. Donc, par exemple, sur les formes différentielles. La dérivée d'une forme différenciale extérieure quelconque est identiquement nul. Et donc, quelques lignes après, ce théorème admène réciproque à savoir si la dérivée d'une forme différentielle omega est nulle, la forme omega peut être regardée comme la dérivée d'une forme pi, dont le degré est inférieur d'une unité, à celui d'omega. Suis la preuve. Et donc, quelques lignes plus loin, une remarque marginale, mais vraiment marginale. Ce n'est pas du tout de ça que parle la théorie, mais donc remarque, si les coefficients de la forme omega sont uniformes dans un certain domaine, la condition omega pris en égal 0 n'est pas toujours suffisante pour assurer l'existence d'une forme pi uniforme dans ce domaine, et dont omega, sur la dérivée extérieure, considérons, par exemple, le domaine fermé, il se place sur la sphère en montrant que pour que la primitive soit uniforme, on a une condition intégrale supplémentaire. Donc, le fait qu'il y ait des conditions topologiques pour que les formes primitives soient uniformes, c'est mentionné en passant, mais après tout, voilà, dans sa théorie, les primitives peuvent être multiformes, parfois, on n'a pas de chance. Ce texte-là vaut le coup d'être cité, puisque dans trois slides, on va avoir le début de la théorie, de la comologie d'doram, des espaces homogènes, par hélicartant, donc un changement de perspective assez important entre 1922 et 1928. Mais j'anticipe. Donc, autre élément qui, dans cette période 25-30, fait bouger ce qu'on appelle un groupe. Ce sont les travaux de Schreyer sur ce que nous, on appellerait la notion de groupe topologique. Donc là, je passe très vite. En fait, je ne pense pas qu'il y ait de liens directs avec le cinquième problème de Hilbert, que je rappelle pour mention. Mais donc, dans deux textes présentés au Séminaire de Hamburg, où Schreyer est arrivé après des études à Vienne, il étudie la notion de groupe topologique abstrait, donc sans structure différentielle. Donc, il n'est pas de question de groupe infinitésimale. Il introduit des notions, et en tout cas des termes, pour dire des choses pour lesquelles il n'y avait pas de termes avant Schreyer, à savoir la notion de germes de groupe. La composition est possible au voisinage de l'unité, mais pas nécessairement partout. Il introduit la notion de morphisme local entre deux germes de groupe ou entre deux groupes. Alors, attention, il appelle ça inclined an isomorph group, mais isomorph, c'est au sens du XIXe siècle. Donc isomorph, ça peut vouloir simplement dire homomorph. Et il étudie, il met en place la notion de revêtement d'un groupe par un autre, et l'existence d'un revêtement universel, le lien avec le groupe fondamental, le lien avec le groupe des Degbwagungan, le fait que le pient d'un groupe topologique est forcément topocomutatif. Voilà, ce genre de choses est mis en place dans ces textes de Schreyer, avec un apport de vocabulaire intéressant. Quelques années plus tard, Pontriagin remarquera dans son livre que Schreyer, vraiment, n'a fait qu'écrire ce que tout le monde savait à l'époque. C'est peut-être vrai, ou c'est peut-être une perfilie, ce serait à regarder. Bon, en même temps, ce sont deux communications séminaires. Ce n'est pas un article dans les mathématiques anales. Intéressant, dans les deux textes, la construction du revêtement universel, ou d'un revêtement universel, procède de deux manières différentes, l'une par les classes de motopie de chemin, et l'autre par générateur de relations, les générateurs étant désouverts. Donc on retrouve les deux modes qui avaient utilisé point carré, puisque la construction par les chemins, c'était le texte de 1883 sur l'uniformisation, alors que la construction par générateur de relations sur les ouverts, c'était la construction des revêtements en 1908 dans le deuxième texte sur le théorème général d'uniformisation. Dernier élément, et je finis avec Élicartan sur l'évolution du regard sur ce qu'est un groupe de lits. Donc il y aura le groupe comme objet géométrique et le groupe comme variété différentielle. Donc le groupe comme objet géométrique, par exemple, on en trouve le début dans un article de Cartan et Straton. Donc je cite le résumé qu'on trouve dans la conférence un peu grand public de 1927 sur la géométrie des groupes de transformation. Donc le groupe va être regardé comme un espace géométrique généralisé. Considérons un groupe continu G à R paramètres, à 1 jusqu'à R, et représentons chaque transformation du groupe par un point d'un espace à R dimension. Ce espace est encore un peu implicite que nous appellerons l'espace du groupe. Donc ça, ça avait sa place dans la théorie de lits, c'est la groupe de Manich Faltigkeit. Dans un article récent, nous avons, M. Straton et moi, indiqué comment on pouvait doter cet espace de trois connexions affines remarquables et intrinsèquement liées aux propriétés du groupe. Chacune de ces connexions fait de l'espace du groupe un espace affine non-olonome. Et donc là ce qu'on va voir c'est que Vile Cartant va appliquer à l'espace du groupe les notions mises en place dans la période précédente au moyen de la notion de groupe et va établir un dictionnaire entre l'engagement classique de la théorie des groupes de lits et le nouveau langage de la géométrie des espaces généralisés avec courbures, torsions, groupes de l'anomie et ainsi de suite. Donc quelques éléments de ce dictionnaire. D'autres ces connexions sont sans courbures, ce qui, comme j'ai déjà dit, signifie que le parallélisme directeur y a un sens absolu. Donc c'est le ferme parallélisme. Ces connexions comportent au contraire une torsion et ces deux torsions sont égales et opposées. Quant à la troisième connexion, elle est sans torsion mais elle comporte une courbure. Trois courbures canoniques sur un groupe de lits. Trois connexions canoniques, pardon. Les géodésiques de l'espace du groupe y sont les mêmes dans les trois connexions. Ce sont celles liées au groupe à un paramètre du groupe donné. On se le dit chanère. Géodésique, côté géométrique, groupe à un paramètre, côté groupe de lits. Beaucoup de notions de théorème fondamentaux de la théorie des groupes prennent de cette manière un caractère géométrique inattendu. C'est ainsi que les constantes de structure du groupe, côté groupe, sont celles qui définissent la torsion de l'un quelconque, de l'un quelconque, des espaces sans courbure du groupe. Deux groupes qui admettent le même espace sans courbure sont donc isomorphes. Alors isomorphes au sens classique, c'est-à-dire isomorphisme d'algebrae de lits. C'est un isomorphisme local. Au contraire, il peut arriver que deux groupes admettant le même espace sans torsion, il peut arriver que deux groupes admettent le même espace sans torsion, sans être isomorphes. L'identité des espaces sans torsion de deux groupes définis par suite, une sorte d'isomorphisme plus général que l'isomorphisme classique qu'on pourrait appeler isomorphisme affine. L'isomorphisme pour cette dernière connexion donne une nouvelle notion d'isomorphisme de groupe. Donc parmi les groupes contenus, une classe est particulièrement importante. C'est celle des groupes simples ou semi-simples. Les espaces sans torsion de ces groupes sont rimaniens avec un déas carré qui n'est pas nécessairement défini. Ils font partie d'une catégorie plus générale d'espaces rimaniens caractérisés par la propriété que le transport par parallélisme y conserve la courbure. Et donc cette géométrie du groupe est le point de départ pour l'étude des espaces symétriques. Donc ils montrent aussi par exemple que c'est l'iterration du crochet qui donne le tenseur de courbure, pour le cas sans torsion avec courbure. Ils montrent que le groupe de l'onomie du côté géométrique et le groupe dérivé de groupes adjoint côté langage classique des groupes de lits et ainsi de suite donc l'établissement en addictionnaire à la fois donne une nouvelle intuition géométrique et aussi permet de poser de nouvelles questions. Par exemple la question de l'isomorphisme affine ou de l'isomorphisme projectif des groupes. Donc je n'aurai pas le temps de lire mais je vous donne les références des articles. Autre enrichissement du regard sur les groupes venant du travail géométrique c'est le travail d'abord sur les groupes, sur les nombres de bêtis des espaces de groupe clos donc sur l'homologie des groupes compacts, un groupe clos ici, c'est les groupes compacts et plus généralement l'année d'après sur les espaces homogènes, sous l'action d'un groupe compact en particulier pour les espaces homogènes symétriques sous l'action d'un groupe compact. Et donc contrairement à ce que Carton botait en touche en 1922, ici il s'agit de montrer que l'étude des nombres de bêtis donc peut-être mené au moyen de la homologie des formes différentielles, je reformule en termes anachroniques, et que la homologie des formes différentielles sur ces espaces remarquables peut être étudiée au moyen des formes différentielles invariantes sur le groupe ou par l'action du groupe et que cette question-là, déterminer les formes différentielles invariantes est ramenable à une question purement algébrique. En termes de formes différentielles algébriques invariantes sous l'action du groupe adjoint, ce qui conduit bien sûr Carton à formuler deux conjectures qui formule la base de la thèse de Doram. Et donc voilà, juste, je termine sur le contraste. Jusque là, la théorie de l'I, c'était ça. Donc ça, c'est la théorie de l'I sans guillemets. Donc un groupe, c'est ça. C'est qu'on regarde dans les n équations x prime i égal à f i de x i agis. Les grandeurs x prime, comme les variables primitives, les x i comme de nouvelles variables, et les a i comme des paramètres. Alors ces équations définissent une infinité, une infinité ruple de transformation. Je dis, l'I, qu'une famille de transformation forme un groupe si la succession de deux transformations de la famille est équivalente à une unique transformation de la même famille. Si, autrement dit, des équations x prime, fonction des x i et des paramètres a et x secondes, fonction des x prime et des paramètres b, il suit que x secondes et paramètres x avec des paramètres c ou les grandeurs c ne dépendent que des a et des b. Donc voilà, ce qui pendant 50 ans avait été la définition d'un groupe de l'I. L'étape suivante étant de dire, on va rajouter l'identité et les transformations inverses. Deuxième étape, on va se débarrasser des paramètres essentiels, ce qui implicitement nous ramène au voisinage de l'unité. Et troisième étape, on dérive par rapport au paramètre pour obtenir le groupe infinité zimal qui sont des champs de vecteurs sur l'espace sur lequel le groupe agit. Et pas du tout l'espace tangent où les champs de vecteurs invariants sur le groupe lui-même. Donc en 30, on obtient ce qu'on obtient en 46 et c'est fini. Merci. Est-ce qu'il y a des questions ? Alors, on va en savoir beaucoup plus bientôt puisqu'on va avoir accès aux archives de Hélikartan. Donc j'aurai une réponse beaucoup plus nourrie dans quelques mois. Ce qu'on sait, c'est que par exemple, l'article dans lequel Hélikartan donne sa propre démonstration du théorème de complète réductibilité et d'abstration linéaire des ingénieurs pour de l'issue semi-simple complexe est une réponse à l'article de Hamann Weill. Et une discussion des méthodes de Hamann Weill, Cartan souvent faisant des choix techniques différents, préférant des arguments algébriques, chaque fois qu'il peut trouver un argument algébrique à la place de l'argument topologique de Hamann Weill, met le mal effet, c'est trop tard. Il est quand même obligé de passer par le revêtement universel et de se poser la question de l'intégration sur le groupe et ainsi de suite. Dans la période préalable sur la question des espaces généralisées, on est sûr que Cartan-Lee Weill, dès les premières notes au contrôle de l'Académie des sciences en 1922, dans lesquelles Cartan introduit la notion d'espace généralisé, il cite les travaux de Weill en disant que ces espaces englobent bien sûr l'espace de Monsieur Hamann Weill, qui généralisait la notion riemannienne, en introduisant au-delà des isométries riemanniennes les similitudes. Il relit la théorie de Weill dans son propre cadre en disant qu'on remplace le groupe des isométries riemanniennes par le groupe de similitudes. Alors, la lecture de Hamann Weill par Éli Cartan, là, c'est un point ce que j'aimerais creuser, parce qu'il y a une citation... La lecture de Cartan par Weill ? Oui, c'est ça. La lecture de Cartan par Weill. Là, c'est quelque chose pour moi d'encore assez mystérieux. Il y a une citation très célèbre qui est souvent donnée, mais beaucoup plus tardive, de Hamann Weill en 1936, qui fait une recension d'un ouvrage de Cartan, d'ailleurs très intéressante, parce qu'il donne une reformulation axiomatique de ce que faisait Cartan. Mais à la fin de cette recension, il y a une citation qui est souvent donnée par les commentateurs de ces histoires, de l'espace généralisé, unification dans laquelle Weill dit, M. Cartan est certainement le grand géomètre de notre temps. Je dois confesser que ces ouvrages sont fort difficiles à lire, et qu'il appartient à une tradition française, donc il faut sans doute être pour bien voir de quoi il parle. Mais du coup, la question de qui lit réellement Éli Cartan, en fait celle sur laquelle je travaille cette année. Il y a d'autres questions. C'est juste une question pratique. Qu'est-ce que vous avez ainsi, toi, que l'on peut voir les textes, qu'on peut voir les lire un peu avec Dieu? Ah, donc j'imagine que tout ceci est enfilmé. Ce sera les slides qui seront mis à la vidéo, et bien sûr les diaporamas seront mis à disposition. Sinon, si vous souhaitez des textes, mais merci, Karine, de me donner l'occasion de dire que je vais bientôt apparaître à un sourcebook chez Hermann, où ces textes des années 20 paraîtront en traduction, quand ils sont de l'allemand, avec une bonne quantité de notes, en particulier les textes de Weyl sur le round problem, et la Reina infinisimal géométrie ne sont pas disponibles en français, voire pas en anglais. Donc la plupart de ces textes seront rendus disponibles en français. Bien sûr, si on lit l'allemand, ils sont disponibles sur le web sans problème. Merci. Autre question, s'il n'y a pas d'autre question, donc je remercie encore... Merci.