 اسلام علیکم ام امیدہ مجھے ایک بار پھر دیکھ کیا آپ کافی خوش ہو رہوں گے کیونکہ آج میرے آنے سے پھر ہم کیا اتنے سکتے ہیں ہم اتنے سکتے ہیں کہ ہم آج کالکلس کی باتیں کریں گے ظاہر اور ہم جانتے ہیں جانتے ہیں جانتے ہیں تو شروع کرتے ہیں بات چید اس کے بارے میں پچھلے لیکچر میں ہم نے بات چید کی تھی انتگریشن کے حوالے سے اور اس میں use substitution کی بارے میں ہم نے ڈیٹیل میں بات کی تھی تو اپنی وہ کانٹسپٹ جو تھے اس لیکچر کے وہ کلیر ہیں آپ کو اور اس میں آپ نے پریکٹس بھی کی ہوگی کافی اور آپ تک کچھ ڈیا ہوگی ہوگا کہ انتگریشن کا کیا مطلب ہوتا ہے وہی بات کے دو مطلب ہوتے اینٹگریشن کا مطلب ہوتا ہے ، جومیٹرکلی انٹگریشن کا مطلب بھی ہوگا اریاں کرك کی دیکھوں دیرے بھی نانج سے جو کچھ vor کی پر لیکچر میں بات کی تھی اور اس کو پھر ہم نے صراہی than ہم کی تھی اس پر ایک کچھ کس پر ساتھ بات کی تھی جومیٹر کناٹسپٹ کو انتگریشن کے لیکچر تو جو ڈیٹیل میں ہم نے ڈیٹیل میں جس کناٹسپٹ کے بارے میں بات کی تھی جو ڈیٹریٹاروں کا جو تک دو مطلب وہ تھی ان terms of nt ڈیفنشیشن یا nt ڈریوٹیوز of functions ہم نے کہا تھا کہ جی جو ڈیگریلز ہوتے ہیں یہ ڈیگریشن جو تھی وہ nt ڈیفنشیشن کے برابر ہوتی ہے یعنی اگر آپ کے پاس کوئی function ہے تو کوئی ایسا function ڈھوننا ہوتا ہے اس کو اگر آپ اس given function ڈیگریٹ کریں گے تو ایک ایسا function آئے گا جس کو اگر آپ ڈیفنشیٹ کریں تو given function آپ کے پاس آجے تو یہ تو ہم نے بات جید کر لی ہے کافی در ہم نے ڈیٹیل میں اور پشتر لیکچرز میں بھی کی تھی پشتر لیکچر میں ڈیگریشن کے بارے میں ڈیگریشن کی تھی ہم نے اور اس میں وہی مجر ڈیگریشن تھا صرف ایک ڈیگریشن تھا جس پر ہم نے بات کی تھی اور وہ ہم نے کہا تھا کہ جی جو آپ کی ہے ڈیگریشن وہ ایک طرح سے Universityrophobic sports's تق Nietzsche کیika بی rebound دا بھی منٹلوںscreams trust ای طرف آر right car محسنی ہاں کسی دا آن تطویم پڑتان دا جے ک治izes ڈیو اٹرینج پہلے فجار الجان بھی تحرار سنگز اور اسی طرف غضون پجان جو رہنا쁘ا ہے جب ہمیں آلامے کا مط establish کوئی پروڈکٹ ہوکا سی اور فنکٹن کے ساتھ تو ایسے فنکٹن کو انتگریٹ کیسے کیا جائے یہ سوال تھا اور جواب تھا جناب کے use substitution سے ان کو انتگریٹ کیا جائے تو ٹھیک ہے ہم نے وہ بات چیٹ کر لی تھی اپنے پرکٹس کیے اور اب تک کچھ sense develop ہو گئے کہ انتگریٹشن کیا ہوتی ہے اور میکنیکل ایسپیکٹ سے اس کے یعنی جو formula ڈائپ کے ایسپیکٹ سے ہوتے ہیں کہ جی ہمیں جو یاد ہو جائے وہ حفولی کلیر ہو گئے ہوں گے میں نے پہلے بھی کہا تھا کہ تھیوری جو ہوتی ہے یا جو concept ہوتے ہیں ان کو ان کو سمجھانے میں یا ان کی understanding پوری طرح سے ہونے میں تھوڑا سا وقت لگتا ہے تو اس میں کوئی بری بات نہیں it's a natural phenomena time لگتا ہے تھیوری سمجھنے میں لیکن یہ ہے کہ میکنیکل ایسپیکٹs جو وہ یاد کر لے نے چاہی ہیں لیکن caution یہ ہے کہ میکنیکل ایسپیکٹs جو ہیں mathematics میں اس کے ہم بات کر رہے تو اس میں ان کو یاد کر کے کر لے نا چاہیے اور ہمیں note کیا ہے کہ ہاں واقی میں جلدی یاد ہو جاتے ہیں لیکن ان کو we shouldn't take them as the end i.e. end of the story ہم اس کو نہیں کہا نا چاہیے یعنی جو formula ہوتے ہیں those are just mechanical things which are good to know they are tools that help us do things لیکن theory جو جس کی ہم بات کرتے ہیں وہ important ہوتی ہے اس کو بھولنا نہیں چاہیے وہی جیسے میں نے کہا کہ اس میں time لگتا ہے سمجھ جانے میں اس کی understanding میں time لگتا ہے تھوڑا لیکن اس کو time دےنا چاہیے اس کو ہمیں بھول نہیں جانا چاہیے کہ وہ سمجھ نہیں آری so let's forget about it وہ نہیں کرنا چاہیے اس کو back of the mind میں رکھا کریں کہ theory جو ہے وہ عاستہ عاستہ ہمیں سمجھ آئی گی اور وہ بات ہے کہ جس جیسے آپ میکنیکل چیزیں تو یاد ہو جاتی ہیں ان کو آپ implement کرتے ہیں تو you start seeing کہ یہ theory جو تھی اس کا مطلب جو ہم نے لیکچر میں سنی بات یا جو ہم نے کہیں اور سنی انٹگریشن کے حوالے سے for example تو وہ یہاں پر ہم نے example کیے تو اب کلیر ہو گیا کہ وہ concept کیا تھا تو اس کو always we should keep that in mind تیک ہے جیسے تو یہ ہو گیا تھوڑا سر ڈیکیا پچھلے لیکچر کا اور پچھلے last immediate لیکچر کا بھی تو اب وہی بات ہے کہ integral calculus ہم شروع کر چکیں تو اس میں انٹگریشن ہی کی بیسک بات ہوتی رہ گی اب اگلے کچھ لیکچر سکت تو اور اس کو ہم فردر develop کریں گے انٹگریشن کی دونوں چیزیں دیکھیں گے detail میں کچھ چیزیں جو ہم دیکھ چکیں کہ mechanical techniques کیا ہوتی ہیں for finding integrals یا in other words انٹی دیفنشن کیسے کی جاتی ہے using the concept of integration پہلے بھی کیا چکوں کہ یہ دونوں ایک چیز ہے انٹی دیفنشیشن یا انٹگریشن is the same thing عام طور پہ انٹگریشن ہی بولا جاتا ہے تو اب ہم یہ دیکھنا چاہیں گے کہ جو ایریہ والی بات ہم نے ایک لیکچر میں کی تھی کچھر سے پہلے تو اس کا کیا اس کا مخصت کیا ہے یعنی اس کی تھیوری کیا ہے وہ کہاں سے آئی تھی اور بغیرہ بغیرہ جو چیزیں ہوتی ہیں جو essentially the questions that occur in science وہ یہ ہوتے ہیں کہ ان کے background کیا ان problems کیا اور ان کے تو وہ ابھی ہم دیٹل میں دیکھنا شروع کریں گے اس میں ہم نے دیکھا تھا ایک لیکچر میں جس میں ہم نے ایریہ کی بات کی تھی under the curve اور انٹگریشن کو تھوڑا سا انٹڈیوز کیا تھا اس میں ہم نے کہا تھا کہ جی وہ نیوٹن کی اور لیبنیٹس کی ایک بات کی تھی انہوں نے ایک concept دیا تھا کہ اور کافی انٹرسٹنگ سے کافی انٹرسٹنگ سے کافی انٹرسٹنگ سے کافی انٹرسٹنگ سے ک تو وہ کیا ہوتا ہے اس کے لیے ہم دیگریشن کریں گے اس وارے لیکچر میں اس کے بارے میں اس تھیوری کو فردر دیوالپ کرنے کے لئے ہمیں کچھ کالکلس سہرٹ کے کچھ تھیوری ہے جو انتدیوز کرنی ہوگی اور یہ باتے جو ہم کریں گے اس لیکچر میں وہ آپ پہلے بھی دیکھ چکیں مجھے یقین ہے پری کالکلسی آلجبرا میں تو اس میں اس کی ہم ڈیٹیر آج دیکھیں گے اور وہ تھیوری کیا ہے وہ تھیوری تو بیسکل نہیں ہے اتنی تھیوری بھی ہے لیکن بیسکل ٹیکنیکل باتے ہیں جو کچھ ہمیں دیکھنے ہوں گی اور وہ جس جو ٹیکنیکل باتے آج ہم بات جس کی کریں گے that's called ڈیگمہ نوٹیشن and I'm sure you've seen it at one time or another in your life تو آئیس کو دیکھ لیتے ہیں کہ آج ڈیگمہ نوٹیشن کی بات کریں گے تو ان کے اس ڈیگمہ نوٹیشن کے کون کون سے ایسپٹ سم دیکھیں گے تو جنہ آپ سیگما نوٹیشن میں آج ہم دیکھیں گے کہ سب سے پہلے تو ہم ڈیفائن کریں گے کہ صدام نوٹیشن ہوتی کیا ہے اس کے بعد ہم بات کریں گے کہ جی ایک اندیکس ہوتا ہے ایک نوٹیشن کا اس کو دیکھیں گے کہ اور اس میں آئی ہوگا کہ صدام نوٹیشن جو اس کو سمیشن Should EVER TELL하는 جوather لیکن اگر آپ کو پتا ہوگا کہ گریک لنگوڈ ہے اس میں جو ایک سیمبل ہوتا ہے اس کو سگمہ کہتے ہیں سیمبل سے گریک لنگوڈ ہے یعنی جیسے انگلیش میں ہم کہتے ہیں ایس تو ایس جو ہے وہ ایک لیٹر ہے انگلیش آلفا بیٹ کا اور بھی ہیں ای بی سی دی وغیرہ وغیرہ یہ سارے لیٹر ہیں اس میں انگلیش لنگوڈ کے تو اسی طرح سے جو سگمہ ہے یہ گریک لنگوڈ کا ایک سیمبل ہے لیٹر ہے گریک لنگوڈ میں اور اس کو میتیمیٹکلی ہم سیمبل کے طور پہ استعمال کرتے ہیں اور اس سے دینوٹ کرتے ہیں کچھ خاص چیزیں تو وہ چیزیں کیا ہیں وہ ابھی ہم دیکھ لیتے ہیں آپ نے یقینن کسی ایک سٹیچ پہ کچھ ایسے سمس دیکھیں ہوں گا کچھ ایسے سمس جو بہت لمبے چوڑے ہوتے ہیں یعنی مثال کے طور پہ اگر میں آپ سے کہوں کہ جناب آپ 1 سے لیکر 100 تک جتنے بھی انٹیجرز ہیں انٹیجرز کی بات کر رہوں خالی ریل نمبرز نہیں انٹیجرز یعنی 1 2 3 4 all the way to 100 ان کو آپ ایٹ کر کے رزل بتا یہ کیا آتا ہے تو یہ ایک کافی انٹرسٹنگ کوشتن ہے ظاہر ہے تو تھوڑے دیرکلی آدمی سوچتا ہے کہ ہاں یہ کنسی بڑی بات ہے یہ تو بڑے ارام سے ہم کر سکتے ہیں no problem لیکن یہ کہ ابھی دیکھتے ہیں کہ کرتے کیسے ہیں اس کو لیکن سب سے پہلی بات تو یہ کہ اگر میں آپ سے کہوں کہ بھی 1 سے لیکے 100 تک آپ سارے جو انٹیجرز ان کو ایٹ کریں تو سب سے پہلے بات ہوگی کہ آپ لکھیں گے کیسے ان کو یعنی شیٹ of پیپر پہ جو آپ اٹیمٹ کریں گے تو ذہب ہے کہ آپ اٹیمٹ کریں گے لیکنے کیا کہ آپ لکھیں گے کہ جی 1 پلس 2 پلس دوت ڈوڈ ڈوڈ which ڈوٹ ڈوٹ سو تے بیچ میں یہ دیکھ سکتے ہیں all the numbers following the number 2 all the way to 100 تو ہم لکھیں گے 1 پلس ڈوڈ ڈوڈ ڈوٹ 1 پلس 2 پلس ڈوڈ ڈوڈ ڈوڈ ڈوٹ پلس 100 تو یہ بسی открыв کرے گا اللکہ ہے than لکھائےoni اس کو کمپیکٹلی لکھنے کا کوئی اور طریقہ ہے یعنی ٹیکہ ایک طریقہ تو یہ کہ ہم نے لکھ دیا وان سے لے کے پلس کر کے اور یہ جو ابھی دیکھا ہم نے اس کو ایک اور طریقہ بھی لکھنے کا جس کو ابھی ہم دیکھ لیتے ہیں اس سے پہلے کہ ہم دیکھیں یہ میں کہنا ضرور چاہوں گا کہ یہ جو پروپلان میں بھی لکھی ہم نے وان سے لے کے وان ہندٹ تک انٹیجرز کو آٹ کرنے کی اس کا ایک ہسٹوریکل بیگرانڈ ہے تو وہ ہسٹوریکل بیگرانڈ کیا ہے میرے خال سے میں نے پہلے بھی یہ نام منشن کیا ہے گاوس نام تھا ان کو ہم کبھی کبھی گوسم پڑتے ہیں گایو ڈبلس لیکن I think ڈیرمن میں اس کو گاوس کے طور پرنامس کیا جاتا ہے گاوس صاحب جو تھے ہی بیسکل ہی was actually پوری تاریخ میں میتہمیٹکز کی گاوس ارکمیٹیز جنہیں مرشمیدس بھی کہتے ہیں اور نیوٹن یہ تین میتہمیٹکز ہیں in the known history of mathematics جن کو ایک خاص کیا کہنا چاہیے پوزیشن حاصل ہے یعنی یہ تین چیمپینس کیا لیں میتہمیٹکز کیا ہے جو through out history irrelevant of any time periods stand out as being great mathematicians یہ ان تینوں کو حاصل ہے کیوں حاصل ہے کہ انہوں نے جو کام کیے they were wonderful works ایسے کام تھے جو ان کے وقت سے کافی آگے کے تھے their minds used to work way ahead of time اور بہتی creative mathematics انہوں نے develop کیا گاوس تو ایک تاریخ تو یہ ہو گیا کہ جی very prolific and very creative mathematician اس کے لائے کہ ان کی خاصیت تھی کہ بچپن سے یہ ایسے تھے ان کی کہانی ہے مشہور ہے کہ جناب یہ پیدایشی ان کو کچھ ان کی disposition تھی towards mathematics اور کہانی کچھ یوں ہے کہ جب تین سال گے تھے گاوس تو ان کے جو والد تھے وہ کوئی ایک 4 من تھے کسی construction کی کمپنی تھی غالباں ایسی کچھ کمپنی کیا ہوگی کوئی labor union وغیرہ اس میں ایک 4 من تھے تو ہی was basically handing out salaries to his employees تو ان کے جو گاوس تھے تین سال گے تھے تو ان کے ساتھ کھڑے بھی تھے یہ اپنے والد کے تو his father basically handed out salary to one person تو گاوس کہتا ہے تین سال گے تھے کہ جناب یہ آپ نے غلط کانٹنگ کیے so you should count the money you gave your employee his father was actually amazed کہ یہ تین سال کا بچہ ایسے کیا پتہ تو he said ok just in case چیک کر لیتے ہیں جی وہ پیسے واپس لیے کانٹ کیے تو واقی ایک غلطی نکلی کانٹنگ میں تو his father was very amazed کہ یہ تین سال کا بچہ اتنی کمپلکیریڈزاہر ہے سمبل تو ہے لیکن تین سال کے بچے کیلی it's a complicated counting تو how could he do that تو یہاں ظاہر ہوتا ہے کہ گاوس had a very born talent an inborn talent تھا اس کے اندر کہ for doing mathematics خیر چیکے یہ بھی ایک کہانی ہوگی لیکن اصل مقصت کیا تھا گاوس کے بارے لیکن اصل مقصت کیا تھا بھی جو ہم نے جیسے سم دیکھا تھا ایک لکھا ہوا تھا کہ 1 سے لیکن 100 تک انڈیجرز کو ایٹ کریں تو یہ سم کہانی ایسے کہ جب گاوس 5 سال کے تھے تو ان کے والد نے ان کو ایک school میں داخل کرایا لوکل تو وہاں پہ جو school ٹیجر تھے وہ کچھ کہتے ہیں کہ بڑے زالم کسم کے تھے انہیں شاہک تھا کہ وہ بچوں کو بڑی بڑے مشکل مشکل problems دیتے تھے اور کہتے تھے کہ ان کو کرو ایک گھنٹے کا period ہوتا تھا اور ٹیجر صاحب ان کو اتنی مشکل problem دیتے تھے کہ بچے اس period میں کرتے رہتے تھے لیکن ان سے حل نہیں ہوتے تھے اور اس دوران یہ تھا کہ ٹیجر صاحب relax کر کے ارام سے کرسی بے بیٹکے ارام کرتے تھے چائے وائی پیتے ہوں گے جو بھی تو خیل یہ ان کی کہانی تھی کہ ایسے ٹیجر ان کو ملے گاوس کو تو ایک دن یہ ہوا کہ گاوس صاحب جب گئے کلاس میں تو تیجر نے کہا کہ ابھی آج ان کبچوں کو کیسے ایک طرح سے بے اقف بنائے جائے تو انہوں نے کہا کہ ابھی ایسا کرے بچوں سب لوگ ٹیلے کے ٹیلے کے ٹنہ بھی انٹیجرزیں ان کو آٹ کرو اور مجھے results لاکے دو کیا ہے تو لگتا تو میں نے جیسے پہلے بھی کہا کہ اسان ہے کہ ٹیلے کے ٹیلے کے ٹنہ بھی آٹ کرنا انٹیجرز لگتا اسان ہے لیکن آپ کرنا شروع کریں تو آپ کو حساس ہوگا کہ it's a very long procedure ایک سام ہے یعنی آپ پہلے 1 کو 2 میں آٹ کریں گے اس کا result کو 3 میں آٹ کریں گے اس کا result کو 4 میں کریں گے 5 میں کریں گے اس طرح کرتے کرتے 100 تک کافی لمبا کام ہے کمپیٹر بتا جلدی سے ہو جاتا ہے لیکن ہاتھ سے کرنا کافی مشکل ہے تو اس میں یہ کھانی ہے کہ بچے سارے جو تھے کلاس میں انہوں نے کہا ٹیکے they took out the papers وہ slate's ہوتی تھی چاک نکالی انہوں نے آٹ کرنا شروع کر دی اب ظاہر اس لیٹ پر کر رہے ہیں تو ایک ہتھ تک کرتے ہوں گے ایرےس کر کے جواب کنے لکھ لیتے ہوں گے پھر پوری کالکلیشن اس کے بعد شروع کرتے ہوں گے کافی لمبا پروسس ہے لیکن پانچ سمینٹی گزرے ہوں گے اس سوال کو پوز کیے وہ ٹیچر نے جو کیا تھا تو ٹیچر صاحب ایسے بیٹرے تھے relax تو کہتے ہیں گاؤس 5 سال کہتے ہیں اٹھ کیا ہے انہوں نے slate ایسے رکھی دسک پے اور کہتے ہیں کہ hear it lies یہ بھی ایک طرح گا ڈرمیٹیکسا over ڈرمیٹائیزیشن ہے کہ 5 سال کا بچا ایسے ڈیلوگ کہاں بولےہا کہ hear it lies تو لیکن مقصد یہ لوگ کا اس طرح کی کہانیہ بنانے کا کہانی تا سچی ہے لیکن یہ ڈیلوگ پروبالیس انہوں نے نہیں بولا ہوں گا وہ یہ ہے کہ he was so brilliant کہ 5 منٹ میں اس نے جواب لاکے لکھ دیا اور جواب باقی صحی بھی تھا آگے چلکی ہم دیکھیں گے کہ یہ جواب تھا کیا اور کیسے انہوں نے ڈرائف کیا اور 5 انٹ میں خالی اور وہ بھی 5 سال کے بچے نے لیکن انٹرسٹنگ بات یہ تھی جو ہمارے لیے ریلیمنٹ تھی کہ وہ یہی سوال تھا جو بھی میں نے لکھا تھا اس کو انہوں نے 5 انٹ میں کر دیا تھا خیر ٹھیک ہے یہ تو کہانی ہو گئی good to know اس میں بعد میں اور دیکھیں گے کیا اس کی development سوائی تھی لیکن یہ ہے کہ سوال یہ کہ 100 تک کا اس کو compact form میں کیسے لکھا جائے تو اس کی لیے نوٹیشن جو ابھی ہم نے انٹردیوز کی تھی سگمہ کی جو میں نے کہا تھا یہ گریک لنگیج میں ایک لیٹر ہے اس کو سیمبل کے طور پر استعمال کریں گے وہ ہم استعمال کرتے ہوئے اس پورے سم کو compact طریقے سے ایک چھوٹے سے form میں لکھ سکتے اور this is very helpful in mathematics کہ آپ لمبی لمبی چھوڑی چھوڑی چیزوں کو اگر چھوٹا کر کے لکھ دیں تو things become very easy and of course you can make progress in mathematics تو اب اس کی example دیکھتے ہیں کہ یہ سم ہے کیا کیسے ہم اس کو سگمہ ہی یہ ہے کیا اس کو کیسے استعمال کرتے ہیں compact طور پر لکھنے کے لئے large sums کو تو ایک ایک سم example ابھی ہم نے دیکھیں اس کو ہم ازید دیکھیں گے ایک اور some دیکھیں آپ کے سامنے ہے اس کو دیکھ لیجے کہ اگر ہم sum کرنا چاہیں پہلے 5 نمبر ہیں 5 تک یعنی 1 سے لیکے 5 تک اور ان کو individually square کرنا ہے اور پھر ان کے results کو ایٹ کرنا ہے یعنی مقصد یہ ہے کہ میں کرنا چاہتا ہوں 1 square plus 2 squared plus 3 squared plus 4 squared plus 5 squared اور پہلے یعنی ان کو ہم square کریں گے پھر result کو ایٹ کریں گے تو اس میں سب سے پہلے تو نوٹ کریں کہ اگر ان کے each term یہ ساری squared ہے تو یعنی یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ اگر ان کی each term کو میں کسی ایک variable سے رپریزینٹ کروں تو تھوڑا سا کام اسان ہو جائے گا کیونکہ میں variable کو استعمال کروں تو اس variable کو میں value دے سکتا ہوں اس انٹیجر کی پرٹکلر جو بھی انٹیجر ہوگا اور وہ انٹیجر کون سے ہوگا ان اس کس میں 1 سے لیکے 5 تک انٹیجر سے ہوگے کے جو variable ہے وہ take on کرے گا in values کو in the range in a rough sense not in the proper function sense لیکن range 1 سے لیکے 5 تک میں اس variable کی values آسکتی ہیں تو ٹھیک ہے variable اسان کر دیا اب کیا ہوتا ہے تو اس سے یہ ہوگا کہ کسی اگر میں رپریزینٹ کرتا ہوں in numbers کو 1 سے لیکے 5 تک تو اس کا فیضہ یہ ہے کہ کے کو اگر میں square کروں اگر میں کہا سکتا ہوں کہ یہ جو سم تھا وہ کہنا کیا چاہ رہے یعنے اگر میں کہوں consider k square where k is in the range 1 through 5 تو بیسکلی میں نے یہی idea convey کیا ہے کہ k square وہ 1 square ہو سکتا ہے 2 square بھی ہو سکتا ہے 3 square بھی ہو سکتا ہے 4 square بھی ہو سکتا ہے اور 5 square بھی ہو سکتا ہے کیونکہ k square میرے پاس ہے k کی values اگر میں 1 سے لیکے 5 تک یہ ہم لیکھا وہ کسی انڈ瓦ول ٹرمز آجا ہوں اب یہ ہے کہ ان کو اد کرنے ہو یہ فرمت تھے یہ سکوئر آگے ہمارے پاس اس کو ٹرمزا ہمیں کنسمی تو k square جو میں نے کیا ہے تو اس میں ایدیشن کا کوڈستر کاما تو ایدیشن کا کوڈستر یہاں پر ، ہم محللی ہم سگمہ جو ہم نے بات کی تعلیت کہ ہم اوکنے کے لحان اوکا کمپیکٹ فوم وہ ہم استمال کریں گے پھر اس کے بارے میں بات کریں گے اس میں ہم لکھ سکتے ہیں کہ چونکہ ہم نے k سکویر سے رپریزنٹ کر رہے ہیں کوانٹٹیز 1 سکویر 2 سکویر سے لے کے 5 سکویر تک ہم سپیسفائی کر چکے ہیں اب انہیں ایٹ کرنے ہیں تو ہم لکھیں گے سگما جو ہے گریک اس کو لکھیں گے اور اس کے نیچے ہم لکھ دیں گے k equals 1 اور اس کے اوپر والے اوپر والے حصہ پر ہم لکھ دیں گے 5 اور سگما کے ساتھ ہم لکھیں گے k square اور یہ سیمبل جو ہے اب اس کو ہم پر سکتے ہیں اس کو ہم پڑھیں گے کیس طرح ہم پڑھیں گے as summation of k square where k goes from 1 to 5 تو یہ ایک کمپیک طریقہ ہے سم کو جو ابھی ہم نے تھوڑی دے پر دیکھا تھا سم of the squares of integers from 1 through 5 اس کو کمپیک طریقہ سے لکھنے کے لیے ہم نے سگما notation ڈیوز کی اور ایک variable case ڈیوز کیا تھا اور ہم نے کہا کہ k square جو ہے وہ رپرزینٹ کرتا ہے اون 5 values کو جو ہمارے پاس آئی تھیں 1 square, 2 square, 3 square, 4 square 5 square اور اب ان کو ایٹ کرنا ہے تو اس کے لیے ہم لکھ دیتے ہیں summation سگما لکھا تھا اس کو ہم پڑھتے ہیں summation کے طور پہ اور اس میں ہم values ہم نے جو 1 through 5 تک اسم کرے گا k وہ بھی سگما کے سامبل کے ساتھ ہم لکھ دیتے ہیں as k equals 1 to 5 اور ساتھ میں k square تو اس کو اگر ہم یہ بھی دیکھیں کہ جو k equals 1 to 5 یہ رپرزینٹ کر رہا ہے وہ range جس میں k values take on کر سکتا ہے تو ایک examples کچھ دیکھ لیتے ہیں جو جن میں ہمارے پاس کچھ sums ہوں گے ٹھیک لنبے سے تھوڑے اور ان کو ہم compact form لکھنا چاہیں گے using sigma notation تو آئی دیکھ دیں دیکھ لیں کہ اب مثال کے طور پر اگر میں add کرنا چاہتا ہوں cubes of the integers from 4 to all the way to the integer 8 تو basically the sum that I will get is 4 cubed plus 5 cubed plus 6 cubed plus 7 cubed plus 8 cubed اس کو اگر compact form میں لکھنا چاہتے ہیں تو sigma notation سے ہم لکھیں گے and we will write this as summation یعنی جب میں sigma کو پڑھوں گا تو میں اس کو summation کے طور پڑھوں گا تو اس کو پڑھ سکتے ہیں summation of k cubed from k equals 4 to 8 چیکے جی یہ وہی بات ہے جیسے پہلے ہم نے لکھا تھا اسی طرح سے یہاں پہ لکھا ہے کہ جو اب کیوں کہ چونکہ ہم cubed integers کی cube کی بات کر رہے ہیں تو variable k لیتے ہیں جو k integers کو represent کرے گا in the range 4 through 8 اور ان کو ہم چکے cube کر رہے ہیں تو k کے اوپر ہم cube کی value cube ڈال دیتے ہیں یعنی کہ ہم k کا cube لینا چاہتے ہیں and as k takes on values in the range 4 through 8 اور جب summation یعنی sum کر رہے ہیں اس کے بعد ہم ان values کو cubes جب آ جاتے ہیں numbers کے ان کو ہم add کرتے ہیں تو اس addition کو those summation کو represent کرنے کے لیے ہم نے sigma لکھ لے ہم ساتھ میں k cubed کے اور range لکھ دیتے ہیں کہ k goes from 4 to 8 تو ایک دو اجامپر زور دیکھ لیتے ہیں یہاں پر اگر ایسا ہے کہ میں پہلے لکھ لیتا ہوں ایک summation اس کو expand کر کے دیکھ لیں گے کہ اس کی وہ کیا رپریزنٹ کرتی ہے اگر میں لکھ ہوں summation from k equals 1 to 5 of 2k 2 times k تو اس کو دیکھیں کہ اس کو expand کر سکتا ہوں میں یعنی ڈال چل رہا ہوں basically میں یہاں پر k کی values میں سبسٹوٹ کر سکتا ہوں k کی اندر تو میرے پاس results آتا ہے 2 times 1 کیونکہ نیچے والی value ہے جو k کی range اس میں k equals 1 پہلی value ہے تو وہ پہلے بیٹا ہوں اس formula میں تو results آتا ہے 2 times 1 اب چونکہ summation ہو رہا ہے تو I have to add this to the next term which will be 2 times k equals 2 تو یہ 2 times 2 ہو جائے گا اب یہ سالا آت ہوگا result to the product 2 times کیونکہ k کی value 3 ہے and so forth تو آخر میں دیکھئے سیمپل سی بات ہے کہ this is just the sum of the first 5 even numbers even integers 2 plus 4 plus 6 plus 8 plus 10 یہاں پر میں بیسکلی الٹا process کیا کہ summation لکھا تھا summation form میں ایک formula لکھا تھا جس کو میں expand کر کے دیکھا کہ کونسر sum رپریزینٹ کر رہا ہے یہ بھی چیز ہوگی تو سیمپل سی بات ہے کہ کونسر sum رپریزینٹ کر رہا ہے جسیں یہاں میں لکھا تھا summation 2k for certain values of k تو سیمپل سی بات ہے کہ 2k represents an even number even integer in the given range for k ایک چیز اور دیکھ لیتے ہیں اگر میں لکھتا ہوں summation from k equals 0 to 5 of the the the the the the 5 of the quantity ایک طریقہ پڑھنے کا یہ بھی ہیں commissions k equals 0 to 5 of the quantity minus 1 to the power k times 2k plus 1 that will just equal to 1 اگر k equals 0 حالہ دعلیںگے تو results 1وان آجائےگا اگر k equals 1 its تو results آگےگا minus 3 minus ipt son mainus power ہے تو پلس کی بجائے آپ کے بس مائنس آجائے گا اور اسی طرح سے آپ کے ایکی ویلیوز ڈالیں گے تو you will see that you get 1 minus 3 plus 5 minus 7 plus 9 minus 11 اچھا جی تو یہ ہو گئیں کچھ examples of summations and how we write them and what they represent تو اب کچھ ٹیکنکل ڈیٹیلز بھی بات کر لیتے ہیں اب یہ سمیشن ہم نے لکھا ہے اس میں کچھ ٹیکنکل ٹرمینولوجی ہے جس کو ہمیں اندیوز کرنا چاہیے اور اس کو زہن میں رکھنا چاہیے ایک تو یہ کہ جو سمیشن سگمہ سائن تھا جس کو ہم سمیشن پڑھتے ہیں اس میں کے کی کچھ value لکھی تھی نیچے اور اوپر یعنی کے نیچے لکھتا کے equals some number top پر لکھتا ایک اور number انٹیجر لکھتا تو ان کو ہم ایک خاص نام دیتے ہیں جو نیچے لکھی ہوتی ہے value اس کو ہم کہتے ہیں lower limit of the summation اور جو اوپر number لکھا ہوتا اس کو ہم کہتے ہیں the upper limit of the summation تو lower limit اگر میں آگے چل کے کہاں کہ جی lower limit یہ ہے تو میرا مطلب یہ ہے کہ lower limit of the summation یعنی جو lowest value ہے k کی وہ کیا ہے اور upper limit سے مراد ہے کہ maximum value کیا take on کر سکتا ہے وہ upper limit ہو جائے گا اچھا یہ جو k ہے یہ کیا چیز ہے k basically is the index جس میں تھوڑی دے پہلے ہم نے گا تھا کہ index کی بات کریں گے changing the index of a summation تو اس سے پہلے index کو انٹڈیوز کرنا چاہیے تو index کیا ہوتا ہے index جو وہ variable ہوتا ہے جو آپ اپنے summation میں استعمال کر رہے ہیں to represent integers in a certain interval یا انٹرول سے مراد میری کے in a certain range because intervals are a technical meaning ہے اس کو ہم نے ہم استعمال کرتے ہیں for some other reasons ایک range کی بات کر رہوں تو جیسے k تھا ایک variable تو ہم نے استعمال کیا تھا تو وہ variable جو اس کو اب ہم index کا نام دے دیں گے تو the variable used in the summation is called the index of the summation اس کے لہاں اب یہ ہے کہ ابھی تک ہم نے جو examples دیکھیں اس میں ہم نے index کو ہمیشہ k کی value سائن کی تھی یا نم نے کہا تھا k is the index کوئی ضروری نہیں ہے کہ آپ k ہمیشہ لیں یعنی جیسے ہم نے کہا تھا summation k square from k equals 1 to 5 اس کو میں ایسے بھی لکھ سکتا تھا کہ summation i squared letter i squared i equals 1 to 5 تو k کی بجاہے i بھی لے سکتے ہیں p بھی لے سکتے ہیں q بھی لے سکتے ہیں s لے سکتے ہیں جو دل چاہے آپ لینا چاہے وہ لے سکتے ہیں مثال کے طور پہ اگر یہ جو index کی بات ہو رہی تھی different type کے ہم لے سکتے ہیں تو اس کے کچھ summation ہیں جو آپ دیکھ لیں یہ سارے برابر ہیں فرق اتنا ہے کہ ان میں index difference تمال کیا گئے تو اس میں دیکھیں کہ ایک summation تو میں لکھ سکتا ہوں summation from i equals 1 to 4 of 1 divided by i ایک یہ آپ کے پاس summation formula آگیا دوسرا ہے summation n equals 1 to 4 of 1 divided by n اور تیسرہ formula ہے جناب summation j equals 1 to 4 of 1 divided by j اب مجھے بات کیا کہ یہ سارے summation ہیں لیکن یہ ایکی sum کو denote کر رہے ہیں اور وہ sum ہے 1 plus 1 over 2 plus 1 over 3 plus 1 over 4 تو یہ ایک آپ نے دیکھا کہ index کچھ بھی ہو سکتا ہے لیکن formula جو ہے جو وہ define کرتا ہے کہ sum کیا ہے یعنی یہ جو ہم نے ابھی دیکھا کہ یہ دفرنت formula تھے وہ جو تھے ان کے اندیکس دفرنت تھا لیکن جو form کی formula کی وہ ایکی تھی یعنی basically division of any fractions کی بات ہو رہی تھی کہ آپ کے پاس sum of certain fractions آنا چاہیتا اور یہ جو ہم نے 3 summation دیکھے they all represented the same sum اچھا اب ٹیکنکل باتیں ہو رہی ہیں تو ایک چیز یہ بھی سوچ نہیں چاہیتا ہے کہ اگر آپ کے پاس ایک summation ہے تو اگر upper limit اور lower limit برابر ہو یعنی دونوں کی value ایکی آئے تو کیا ہوتا ہے what happens then تو اس کا جواب یہ کہ اگر آپ sum کر رہے ہیں from k equals 1 to 1 of k تو کیا جواب آنا چاہیتا ہے اس میں سیمپل سی بات ہے آپ values ڈالنا شروع کیجی پہلی value کیا ہوگی کیوں کہ آپ k equals 1 سے start کر رہے ہیں second value کیا ہوگی کیوں کہ interval 1 سے لے کے one تک ہے second value one ہی ہوگی so what do we get we just get one i mean like we should stop right there کیوں کہ initial value جو lower limit ہے اور جو upper value final value جو تھی برابر ہیں تو you are basically saying کہ آپ ایک term آپ کے پاس آ رہی ہے جو by itself stand کرتی ہے as a sum کیا سکتے ہیں as a sum but it's basically one value مثال کے طور پہ اگر آپ سے کوئی کہا ہے کہ جی find the sum i.e. summation k equals 2 all the way to 2 of k cubed تو اس میں دیکھ لیں کہ آپ k equals 2 پہلی value ڈالیں گے تو 2 to the power 3 آ جائے گا اب اس میں plus کر کے ایک next term آنی چاہیتی لیکن next term جو ہے وہ ہے نہیں کوئی اور کیوں کہ 2 اور 2 کے درمیان کوئی اور انٹیجر ہے نہیں تو you basically stop right there and therefore you just get the result summation k equals 2 all the way to 2 of k cubed equals 2 to the power 3 تیک ہے تو یہ بھی ہم نے ہم نے دیکھ لیا کہ ایسے situation میں کیا ہوتا ہے اب ایک situation یہ بھی ہو سکتی ہے کہ آپ کے پاس summation ہو in a certain range لیکن جو آپ کا index ہے وہ ویریبل نہیں ہے بلکہ آپ ایک ویریبل index نہیں ہے بلکہ a constant term ہے آپ کے سمیشن میں تو اس میں کیا ہوگا یعنی مثال کے طور پہ دیکھ لیتے ہیں اس کو ایک example کر کے کہ اگر آپ کے پاس summation ہے i equals 1 سے لے کر 5 تک اور آپ لے رہے ہیں اس summation کو over 2 تو کیا جواب آئے گا یعنی اس example میں یہ دیکھیں کہ summation تو آپ لے رہے ہیں i equals 1 سے لے کے 5 تک لیکن جو index ہے وہ i ہے لیکن جو formula آپ کے پاس سمیشن کے ساتھ میں اس میں i involved نہیں ہے it's only a number 2 تو اس ایسے situation میں کیا ہوگا ایسے situation میں ہم ایسا کرتے ہیں ہم کہتے ہیں ٹیک ہے جو بھی formula دیا ہوا آپ کے پاس summation کے ساتھ اور اس میں چونکہ index involved نہیں ہے تو آپ اسی formula کو اتنی بار ایٹ کر لیجے جتنی maximum value دیویے index کی یعنی اسی example کو اگر دیکھیں تو دیکھئے کہ آپ summation کر رہے تھے i equals 1 سے لے کے 5 تک of the number 2 تو اس کو expand کریں گے تو آپ کے پاس results آئے گا 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 یعنی آپ اسی ایجو 2 لکھا ہے اس کو ایک formula کے طور پہ بھی treat کر سکتے ہیں جس میں index جو ہے وہ نہیں ہے of the summation جو an index of the summation is absent from this formula 2 so what we do is we just add the formula to itself 5 times in this case the formula happens to be a number 2 so we add to 5 times to itself formula کے use کرنے کا کیا مقصد تھا میرا یہاں پہ اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں کہ example دیکھیں کہ اگر آپ summation کرنا چاہیں کے i equals 3 سے لے کے 6 تک of x cube تو یہاں پہ ایک formula ہے x cube لیکن note کریں کہ اس میں k involved نہیں ہے index جو ہے وہ k ہے لیکن x cube میں کوئی k کہیں بھی نہیں ہے لہذا آپ یہ کریں گے کہ x cube کو add کر لیں گے to itself how many times یعنی 3 سے لے کے آپ 6 تک جا رہیں تو پہلے k equals 3 کے لیے پہلے ایک دفعہ لکھی ہے x cube پھر k equals 4 کے لیے آپ x cube لکھیں پھر k equals 5 کے لیے x cube لکھیں اور k equals 6 کے لیے x cube لکھیں اور ان سب کو add کر لیجے تو آپ کے پاس یہ 4 x cubes آتے ہیں so you basically get 4 x cubed اچھا اب یہ ہے ایک بات کے سمیشن جو آپ کی جو سام ہوتا ہے sigma notation میں جو آپ لکھیں اس کو کئی طریقوں سے لکھا جا سکتا ہے انہیں مثال کے طور پہ ایک چیز دیکھیں کہ اگر آپ کی کچھ سمیشن رکھے میں پہلہ جو ہے سمیشن k equals 1 to 5 of 2k یہ ہم نے تھوڑے دیر پہلے بھی دیکھا تھا تو اس کا result آتا ہے the sum of first 5 integers even integers لیکن یہی جو sum of first 5 integers ہے even integers ہے اس کو میں ایک اور formula سے رپریزن کر سکتا ہوں ایک اور summation سے رپریزن کر سکتا ہوں اور وہ اس طرح سے کہ اگر میں لکھوں summation k equals 0 to 4 of the formula involving the index اور جو formula ہوگا وہ ہوگا 2k plus 2 تو go کے میرا index of k equals 0 سے start کر رہا ہے بجائے 1k اور جا رہا ہے all the way up to 5 کی بجائے 4 تک تو اس کے باوجود یہ formula جو ہے مجھے sum دے گا of the first 5 even integers اور آپ ٹریکل لیجے کے کی value سبچوٹ کریں گے اس کے اندر you'll see that you get the first 5 even integers added together ایک اور طریقہ انی کو لکھنے کا ہے summation k equals 2 all the way to 6 of the formula 2k minus 2 and that also gives you the same sum اچھا اب ایسا کرتے ہیں کہ index کی بات ہو رہی ہے تو change of index کی بات کرتے ہیں کہ index جو ہوتا ہے اس کو اگر ہم چینچ کریں ایسا سمیشن تو کیا ہوتا ہے تو ایک اجامل دیکھتے ہیں اس کے بارے میں بھی اگر ہم ایسا کہتے ہیں کہ جی ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں کہ question یہ ہے اس اجامل میں کہ express summation k equals 3 all the way to 7 آہ summation پر پر پذا پہل شروع ہمیں لیکن بی بھرے ہیں تو it's just a card sentiments جی ہے آپ کے پاس کے ہے اور اس کو آپ کو اس SF را اپکو see change کرنا ہے بدائی کو реالacs اپر لیمیٹ پر کوئی کندشن نہیں ہے صرف لور لیمیٹ پر ہے کہ وہ 0 سے start ہوں تو کیسے کریں گے تو اس میں ایسا کریں کہ ایک نیا انڈیکس دیفائن کا ہی اور اس میں ہم دیکھیں گے کہ اس نیا انڈیکس کو سمال کرتے ہوئے ہم اس اورجنال سگمہ یہ سمیشن میں جلکھی بھی یہ پرومولا اس کو ایک اور سگمہ نوٹیشن میں لکھ سکیں گے جس میں انڈیکس جو ہے وہ 0 سے start ہوگا تو کیسے ہوگا وہ آئی دیکھتے دیکھیں کہ اگر میں ایک نیا انڈیکس دیفائن کرتا ہوں جے اور اس کو میں آسائن کرتا ہوں value k minus 3 یعنی جس کا مخصد یہ بھی ہوا کہ k جو ہے وہ جے پلس 3 کی برابر ہے تو نوٹ کریں کہ as k runs from 3 to 7 جے runs from 0 to 4 یہ سیمپل سی بات ہے k کو اگر 3 رکھیں گے تو جے 0 جائے گا k کو 7 رکھیں گے تو جے 4 جائے گا تو لہذا ہم لکھ سکتے ہیں تو یہ اس طرح سے آپ نے ایک انڈیکس بھی چینج کر دیا اور اس میں جو اس کے limits تھے limit کیلی جی اپرلور limit وہ بھی چینج کر دیئے تو یہ طریقہ تھا انڈیکس چینج کرنے کا اب آس میں آپ خود چیک کر سکتے ہیں کہ جو دو summation ہم نے لکھیں ان کو آپ اگر expand کریں تو some جو آئے گا جو sums آئیں گے آپ کے پاس وہ دونہ برابر آنے چاہیں گے اس کو آپ چیک ضرور کر لی جے it will show you that they are actually the same thing تو دو different formula summation کے where different index represent the same sum and the summation actually have different indices or different limits also تو لیکن وہی بات ہے کہ different summation سے آپ ایک ہی formula بھی represent کر سکتے ہیں اچھا جی اب تھوڑا سا generalize کرتے ہیں چیزوں کو ابھی تک ہم نے numbers کی بات کی تھی اب ہم کہتے ہیں ہم general terms کو case sum کو represent کرنا چاہتے ہیں مثال کے طور پے اگر میں کہوں کہ میں چاہتا ہوں a1 plus a2 plus a3 کو represent کرنا یعنی a subscript 1 plus a subscript 2 plus a subscript 3 اس کو sum کے طور پر represent کرنا چاہوں گا تو وہ میں کیسے کروں گا using sigma notation اس کو میں ایسے کروں گا کہ میں لکھ لوں گا جناب summation k equals 1 to 3 of a subscript k اور یہاں پہ k کی value اگر آپ سبسیوٹ کریں تو آپ کے پاس وہی resultاتا ہے a1 plus a2 plus a3 تو یعنی یہ ایک طریقہ ہے general یہ a1, a2, a3 کچھ بھی ہو سکتے ہیں they can represent any integers اور something لیکن یہ ایک general terms میں آپ ان کو اسے لکھ سکتے ہیں summation's کی term میں اس کو generalize اگر آپ کریں کہ آپ sum کرنا چاہتے ہیں b1 سے لکھ bn تک کوئی terms ہیں جن کو آپ sum کرنا چاہتے ہیں تو sigma notation میں آپ لکھ سکتے ہیں اس کو اس طرح سے summation k equals 1 to n all the way to n of b subscript k اس میں آپ k کی values ڈالیں 1 سے لکھ n تک تو resultاتا ہے b1 plus b2 plus all the way to b subscript n اچھا اب اس sigma کی کچھ properties بھی ہوتی ہیں sigma notation کی تو ان کو دیکھ لیتے ہیں اور ان کو ایک theorem کی form میں دیکھتے ہیں تو یہ properties بیسکل کیا ہیں یہاں جناب کے آپ کے پاس اگر summation ڈیوی ہے k equals 1 سے لکھ n تک اور ایک constant number ملتیپلائے کر رہا ہے آپ کے formula کو یا general term کو a subscript k کو this will equal to the constant factored out of the summation and you take the summation from k equals 1 to n of the formula which is a subscript k similarly آپ کے پاس اگر a summation ہے of two formulas a k plus b k اور ان کا سم لے رہے ہیں from k equals 1 to n تو you can break the sum over the plus sign and you get two different summations from k equals 1 to n and those two summations are added together to give you the final result یہی formula جہے آپ استعمال کر سکتے ہیں اس کے لیے اپنے difference کے لیے اگر آپ کے پاس difference آرہے تو یہ آپ کے تیرم کی فرم میں تین پروپٹیز آگئیں سمیشنز کی ان کو پروف بھی کیا جا سکتا ہے لیکن ہم کریں گے نہیں ان کا پروف actually by the way آپ کی ٹیکسپوک میں دیا ہے you're welcome to look at it and you'll see کہ یہ کافی easy سا پروف ہے straight forward sir it's doable I'll let you do it yourself ہم آگے چلتے ہیں اور ایک کچھ اور properties دیکھتے ہیں sigma کی یہ کچھ formulas ہیں جو sigma notation میں لکھے ہیں ان کو دیکلتے ہیں آگے چلے کافی helpful ہوں گے so let's look at these things یہ آپ کے پاس تین آپ تیرم کی فرم میں ہیں اور پہلہ formula جو ہے وہ کہتا ہے کہ summation of k equals 1 to n of k is equal to 1 plus 2 plus 3 plus all the way to the number n یعنی بیسکل وہی چیزے جس کی ہم نے gauss کے حوالے سے بات کی تھی کہ sum the numbers from 1 to n اگر یہاں پہاں لیکن یہ جو اس کے ساتھ ایک formula لکھا ہے that the sum of integers 1 to n is equal to n times n plus 1 divided by 2 تو یہ جناب formula جو ہے یہ وہی formula جو gauss نے ڈرائف کیا تھا اس کلاسٹروم میں بیٹے ہوئے جو وہ 5 سال کا تھا تو this is actually a very special formula باقی formula بھی دیکلتے ہیں دوسرہ formula ہے جناب کے summation from k equals 1 to n which represents the sum of integers from of integers from 1 to n squared is equal to n times n plus 1 times 2n plus 1 divided by 6 جو تیسرہ formula ہے وہ ہے k equals 1 سے لیکن ڈک سمیشن k cube کا which is basically representing the sum of the cubes of the integers from 1 to n and the formula for that is n times تو یہ جناب آپ کا کچھ بیسک فوملہs ہو گئے جو ہم آگے چلکے استعمال کریں گے لیکن یہ لکھے گئے سمیشن فوم میں تھے so they are helpful and good to know اچھا ایک ایک اجامل کر لیتے ہیں to wrap up this lecture let's look at this اجامل ہے جناب summation k equals 1 to 30 of k times k plus 1 تو اس کو میں اگر k times k plus 1 کو سمیشن فوم k equals 1 to 30 of k square plus k and now I can use the property that summation can be distributed over the plus sign to write this as summation k equals 1 to 30 of k square plus summation k equals 1 to 30 of k and now I can do this calculation and I get the following result that the result should be 9999 9920 اچھا جی تو یہ بھی ہوگے ایک اجامل اور اب اس میں ایک چیز اور یہ کہ ابھی جو ہم نے اجامل میں دیکھا کہ اور کچھ فوملے دیکھے کہ ایک طرف آپ کے پاس سم لکھا وائے one سے لیکن end تک اور اس کی دوسی سائٹ پر ایک فوملہ دیا تو جو فوملہ ہوتا ہے وہ ہم اس کو کہتے ہیں a closed form چی کے جی تو جو لفٹ ان سائٹ پر ہم نے سم لکھا وائے expanded form expanded some one سے لیکن تک اس کو ہم کہتے ہیں open form of the summation تو یہ بیسک idea سے اس لیکچر کے تو آئیے اس کو ختم کرتے ہیں اس لیکچر بیسکلی کافی straight forward تھا مرے خال سے کوئی تنا deep thinking نہیں تھی straight forward see mechanical or technical باتے تھی but still اس میں یہ ہے کہ summation لگتا سمپل سی get very quickly تھوڑے سے آپ اگسیامپلس کریں گے اور home work کریں گے تو آپ اسی آپ کیا کہا لیکن وہی بات ہے کہ overall اسے a very straight forward idea جی تو آپ پھر ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو اور آپ پرکٹس کیجے گا do your home work اور اگلے لیکچر میں پھر ہماری ملاقات ہوگی جب تک کے لیے جازت اللہ آفس thank you