 Depuis quelques semaines, une question semble revenir en boucle. Je ne suis pas virologue et je ne n'y connais pas grand-chose en santé publique donc je préfère ne pas m'avancer à dire autre chose que non, on n'y passera pas tous. Mais c'est pas pour autant qu'il ne faut pas s'investir à minimum pour empêcher la propagation du virus. Je vous renvoie dans la description vers des contenus de qualité sur la question. Parlons donc plutôt maths, comment s'y prend-on pour modéliser mathématiquement une épidémie ? Le nombre de paramètres à prendre en compte étant gigantesque, on va se concentrer sur le principal et faire au plus simple. Notre modèle va reposer sur des hypothèses simplistes et on égligera sans vergogne un grand nombre de détails. Bref, on s'intéresse à l'effet d'une petite épidémie sur la population d'une région donnée. Dans cette population, on considère trois types d'individus. Les individus sains, les individus infectés et les individus rétablis. Pour les premiers, tout va bien tant qu'ils ne croissent pas trop d'individus infectés. Pour les deuxièmes, cette infection n'est qu'une mauvaise période à passer, puisqu'il n'y a qu'une seule issue possible, la guérison. Les individus de la troisième catégorie sont les individus rétablis. Ils sont donc guéris et immunisés, ils ne peuvent plus retomber malade. Ce modèle est ce que l'on appelle un modèle compartimental. La population est divisée en plusieurs catégories et on suppose qu'au sein d'une catégorie donnée, tous les individus ont exactement le même comportement. Dans notre modèle, on dispose donc de trois compartiments. Le compartiment S des individus sains, du I des infectés et du R des rétablis, d'où le nom du modèle S-I-R. Ce modèle est simpliste, mais colle assez bien à certains types d'épidémies. Mettons tout ça en équation. Pour cela, il faut se demander comment ce système évoluera avec le temps. On va donc s'intéresser à la proportion de la population qui est saine, infectée ou rétablie au cours du temps. On notera S de T, I de T et R de T. Pour modéliser leur évolution, il faut déterminer la façon dont ces quantités évoluent au cours du temps. L'analyse mathématique a justement un outil parfaitement adapté à cette situation, le calcul différentiel. Si la fonction I désigne la proportion d'individus infectés au cours du temps, la dérivé de cette fonction, notée I prime, désignera le nombre de nouveaux infectés par unité de temps, disons le jour. Ainsi, si cette dérivé est positive, c'est qu'un nombre positif de nouveaux infectés apparaîtront chaque jour, si bien que le nombre d'infectés sera croissant au cours du temps. Si il est négatif, ce nombre sera décroissant. Notre première hypothèse pour modéliser ces évolutions, c'est que la transformation d'un individu sain en un individu infecté est la rencontre de trois facteurs. Un individu sain, un individu infecté et une transmission du virus. Pour déterminer alors le nombre I prime de nouvelles infections par jour, il faut donc déterminer le nombre de rencontres entre des individus sains et des individus infectés. Ce nombre de rencontres est donc logiquement proportionnel au nombre d'individus sains dans la population et au nombre d'individus infectés. On en déduit alors que le nombre de rencontres par jour est proportionnel à S2T x I2T. Chaque rencontre n'aboutit cependant pas nécessairement à une transmission, elle est soumise à une petite part d'incertitude. De plus, chaque individu sain ne rencontrera qu'une petite portion des individus infectés. On modélise tout cela par un paramètre beta. Ce nombre est le taux d'incidence de la maladie qui regroupe donc plusieurs paramètres comme la densité de la population ou la probabilité de transmission de la maladie. Plus ce nombre est grand, plus la maladie sera infectieuse. On en déduit alors que le nombre I prime de T de nouvelles infections par jour est égal à beta x S2T x I2T. Cependant, lorsqu'un individu devient infecté, il ne fait plus partie de la catégorie des individus sains. Il faut donc retirer à S ce qui vient d'être ajouté à I. On a donc S prime de T égale moins beta x S2T x I2T. Notre deuxième hypothèse, c'est que tout individu infecté finira par guérir en moyenne lambda jour. Chaque jour, on peut donc considérer que la population des infectés diminuera à hauteur de 1 sur lambda. Finalement, ce nombre I prime de T de nouveaux cas par jour sera égal à beta x S2T x I2T moins 1 sur lambda x I2T. Ces individus qui tentent la catégorie infectée rejoint celles des rétablis, ce qui nous donne la troisième équation, R prime de T égale 1 sur lambda x I2T. Notre modèle d'épidémie se résume donc à trois équations où les inconnus sont des fonctions représentant la proportion d'individus sains infectés ou rétablis dans la population au cours des jours. Ces équations possèdent deux paramètres caractéristiques de la maladie, le taux d'incidence beta qui traduit l'infectiosité de la maladie et le temps de guérison lambda. Pour lancer une simulation, il ne manque plus que la connaissance de la composition initiale de la population, combien d'infectés et combien de biens importants. Les équations présentées ont pour un connu des fonctions et leurs dérivés, il s'agit de ce que l'on appelle des équations différentielles. L'étude mathématique de ces équations nous permet de calculer des choses importantes comme le temps nécessaire avant que l'épidémie ne commence à décliner ou bien la proportion de la population qui sera atteinte par l'infection. Mais il y a plus amusant à faire, on peut choisir des hypothèses de départ et lancer la simulation pour voir ce qui se passera. On a justement des outils mathématiques pour résoudre numériquement ces équations, comme la fameuse méthode de l'air, la méthode archaïque mais qui fonctionne évoquée dans le film Les figures de l'ombre. Disons que notre population compte initialement 5% d'infectés et prenons une maladie très infectieuse mais à guérison rapide avec beta égal 1 et lambda égal 2. Après 5 jours, la maladie aura atteint son pic d'infection puis diminuera lentement. À terme, 20% de la population n'aura donc pas été touchée. On peut alors modifier les paramètres pour voir comment cela change l'épidémie. Nouvelle exemple donc avec un virus aux caractéristiques identiques mais à guérison plus lente en prenant lambda égal 5. Dans ce nouveau cas, la totalité de la population finira par être touchée. Cependant, si on diminue l'infectiosité du virus et même avec un temps de guérison long, l'épidémie ne prendra tout simplement pas. On peut également prendre en compte la proportion d'individus vaccinés dans la population qui ne pourra donc pas être infectée. Cette population coïncide avec la population R dérétablie. Avec une maladie très infectieuse, on peut ainsi voir qu'une bonne couverture vaccinale empêche tout simplement l'épidémie de commencer. Le nombre de personnes infectées se contentera alors de décroître. Grâce à la déraisonnable efficacité des mathématiques, on peut même le démontrer. On a vu que le nombre de nouveaux infectés par jour est donné par l'expression beta fois s fois i moins 1 sur lambda fois i. Une épidémie a lieu si cette quantité est positive donc lorsque beta fois s fois i moins 1 sur lambda fois i est positif. En divisant par i et en réorganisant le reste, on peut donc conclure qu'une épidémie n'aura lieu qu'à condition que beta lambda s est supérieur à zéro. Ce résultat est fondamental en épidémiologie et porte le nom du théorème du seuil. Grâce à lui, on peut calculer la proportion d'individus vaccinés que doit posséder une population donnée pour empêcher le déclenchement d'une épidémie. L'intérêt du modèle SIR, c'est qu'il est assez facile d'y ajouter de nouveaux compartiments. On peut par exemple supposer que tout le monde ne guérira pas de la maladie. On ajoute donc une nouvelle catégorie d'individus, celui des morts. En supposant que le taux de mortalité de la maladie est mu, on peut très simplement adapter nos équations pour rendre compte de la situation. Appliquons donc sans attendre ces équations avec une population qui compte 10% d'infectés. On prend un taux d'incidence beta égal 4, un taux de guérison lambda égal 4 et un taux de mortalité mu égal 0,05. On lance la modélisation. Le nombre d'infectés augmente très rapidement les premiers jours, puis commence à décroître lorsque les individus sains viennent à manquer. Le nombre de morts augmente pendant ce temps tranquillement, jusqu'à se stabiliser aux alentours de 17%. Si on augmente le taux de mortalité, la proportion de morts à terme dans la population augmente logiquement, sauf lorsque la maladie devient vraiment trop mortelle. En effet, un trop haute taux de l'étalité empêche le virus de se propager au reste de la population. On peut également améliorer ce modèle SIR en ajoutant d'autres compartiments, comme la quarantaine, les porteurs sains, les malades en phase d'incubation, etc. Bien sûr, quand on laisse un outil comme ça dans les mains de scientifiques, il commence à faire n'importe quoi. C'est ainsi qu'une équipe de biologistes a rédigé en 2013 un article modélisant l'épidémie de zombies de Shaun of the Dead ou de la nuit des morts vivants. Spoiler, l'apocalypse zombie. Il y a eu lieu. Et Covid-19 dans tout ça ? Eh bien, c'est délicat. Le modèle SIR est un excellent modèle pour approcher l'épidemiologie, mais il reste malgré tout rudimentaire. En particulier, il ne prend pas du tout en compte la répartition géographique des infections ou les mouvements des populations. De plus, les données de l'épidémie en cours sont un peu trop lacunaires pour que je me risque aujourd'hui à faire le moindre prognostique. Je vous renvoie plutôt vers la vidéo de Grant Sanderson qui s'intéresse plus précisément à la croissance exponentielle du coronavirus. En attendant, lavez-vous les mains régulièrement et ne vous mouchez pas n'importe où.