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Programa de Doutorado: Tópicos em Teoria da Aproximação

Professor: Dimitar Dimitrov (UNESP)

Resumo:
O objetivo principal do curso será revelar a relação estreita entre a Análise de Fourier Clássica e a Teoria da Aproximação. A Teoria da Aproximação surgiu com os trabalhos de Chebyshev e de seus alunos e seguidores como Markov e Bernstein. A prova de Fejér da convergência uniforme das somas de Cesàro das séries de Fourier de funções contínuas, em 1900, revelou claramente o papel fundamental da convolução com núcleos somáveis como ferramenta para aproximar funções periódicas. Surpreendentemente, dois resultados fundamentais, um “positivo” e outro “negativo”, foram publicados em 1912 por Jackson e Bernstein. Jackson mostrou que toda função contínua e 2 periódica por ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos de ordem n com erro que não excede !(f; 1/n). Bernstein provou que a melhor ordem de aproximação não pode ser reduzida para menor do que a estabelecida por Jackson. Outro assunto importante, de sabor clássico, é a caracterização de certas classes de funções pela ordem de decrescimento de seu módulo de continuidade, por um lado, e pela velocidade de convergência de suas séries de Fourier. Vamos expor também alguns resultados da Análise de Fourier relacionados com a transformada de Fourier e densidade de algumas classes de funções, tais como os Teoremas de Wiener Tauberianos. Outro assunto que abordaremos será a classe importante de funções inteiras, a de Laguerre-Pólya, fornecendo várias caracterizações e o papel fundamental dos polinômios de Jensen como aparato fundamental para aproximação nesta classe.Discutiremos brevemente alguns assuntos sobre aproximação por funcionais lineares
enfatizando os principais aspectos teóricos das fórmulas de quadratura.
Referências:
[1] E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS Chelsea Publishing, 2nd ed., 1982.
[2] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, 1968.
[3] A. F. Timan, Theory of Approximation of Functions of a Real Variable, Dover, 1994.
[4] A. Zygmund, Trigonometric Series, 3rd ed., 2002.
Professor: Dimitar Dimitrov (UNESP)

Resumo:
O objetivo principal do curso será revelar a relação estreita entre a Análise de Fourier Clássica e a Teoria da Aproximação. A Teoria da Aproximação surgiu com os trabalhos de Chebyshev e de seus alunos...
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