El problema imposible

En algunas revistas de divulgación científica o en algunas páginas de Internet existe un problema de interés matemático. El "Problema imposible" se le atribuye a Hans Freudenthal, un matemático neerlandés conocido por sus importantes contribuciones a la topología algebraica, aunque también se interesó por la literatura, la filosofía, la historia y la educación matemática.
Se espera que tal video sea de su agrado.

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[elrepublicano3]

que Paulina no lo podía saber en un principio, es evidente que la suma no puede ser 28. Explicado de otra manera, si la suma se pudiera descomponer en dos primos esta sería la unica descomposición en dos divisores posibles (sin contar el par que contiene al numero1) y por tanto habría una posibilidad de que paulina lo supiera instantaneamente, pero segun nos dice samuel esto no ocurre, por tanto la suma nunca se puede descomponer en dos sumandos primos tal como ocurre con el 28. un saludo

[elrepublicano3]

Te equivocas, con 4 y 13 tenemos dos sumas posibles , tal como dices , la de 4+13=17 y la de 2+26=28. ahora bien, si la suma fuese 28 una posibilidad para las edades serían 17 +11 (ambos numeros primos) y su multiplicación ó producto sería 187 ,y aqui las unicas posibilidades para las edades serían (1 y 187) y (11y17) como ninguna edad es 1 la unica posibilidad es 11 y 17 y Paulina lo habría sabido al instante, pero además como cabe esta posibilidad para el 28 y Samuel sabía de inicio (sigue)

[elrepublicano3]

tiene como factores 3 , 2 y el 7 que tienen como suma 2*3+7=13, 2*7+3=17 y 3*7+2=23 (el 13 no vale) y nos quedan 17 y 23. si hacemos esto para todos los pares de sumandos del 17 , el unico par para el que tenemos suma unica es el par(4 y 13). además para cualquier otro numero (como ya se ha comentado antes) existirá al menos dos pares de sumandos en el que la suma sea unica y por tanto hay que descartarlos, ya que si fuese así Samuel no podría saber cuales son las edades .

un saludo.

[elrepublicano3]

2^n y un numero primo elevado a m y que si hay más de un n que cumpla esto solo en uno de ellos se produzca suma unica (antes hemos visto el ejemplo de 29) (2^2+5^2 y 2^4+13), otro ejemplo el 23 que es 2^2+19 y 2^4+7, si elimnanos numero por numero al final nos queda el 17. cuyos sumandos pueden ser:

2+15 que si descxompones es 2,3 y 5 y las sumas pueden ser 17, 11 y 13 el 13=2+11 (como ambos son primos esta descartado) pero 11 y 17 pueden ser (luego no es unica) , veamos ahora 3+14 que (sigue)

[elrepublicano3]

o 16 y 13. (lo que hemos hecho con el 29 es descomponerlos en dos pares de sumando y reordenar los factores de estos sumandos para saber si en cada uno de ellos la suma que queda es unica, como esto aparece en más de un par de sumandos es evidente que , el 29 no me vale. Por tanto debemos buscar un numero que en solo en una descomposición de sumandos la reorganización de los factores en suma sea unica. por tanto deberemos de buscar un numero que se pueda descomponer en un sumando que sea (sigue)

[elrepublicano3]

me explico si tomaramos el 29 se puede descomponer en los siguientes sumandos 4+25 y 16+13, si descomponemos el pirmer par nos queda 2^2 y 5^2 y las sumas posibles serían 4+25=29 (como era de esperar) y (2^2)*5+5=25 (pero este no vale ya que 25 es impar y la restarle 2 sale 23 que es primo) aqui tendriamos una unica solución, pero veamos el segundo par, el de 16+13, que da 2^4y 13 y la unica posibilidad es 29 (pues 13 es primo) por tanto no podemos determinar si las edades son 4 y 25 o(sigue)

[elrepublicano3]

debe ser menor que 53 ya que si fuese 53 o mayor , ya que el siguiente primo más grande que 2 es el 3 y por tanto el 2 solo se prodria asociar al 3 dando una edad 6 y la otra el factor primo mayor, lo cual nos lleva a una unica solución y por tanto paulina sabria cuales son las edades de primera. por tanto debemos de encontrar un numero menor que 100 que la descomposoción de sus dos sumandos en factores primos no se pueda componer en mas de una par de sumandos que tenga solución unica (sigue)

[elrepublicano3]

serian las siguientes 2*5+19, 2*19+5 y 2+19*5, es decir 29,43 y 97 y si fuese 2^2 y 19 la unica posible ahora sería la de 2^2+19 es decir 4+19 y no la de2+2*19, es decir sería 23 y nunca la de 40. ahora fijte que con dos factores (sin incluir al dos) tenemos como minimo tres posibilidades (en nuestro primer ejemplo el 43 no seria valido ya que es como dijimos es un numero impar que al restarle 2 sale 41 que es un primo), por otro lado es evidente que el nayor factor pirmo debe ser (sigue)

[elrepublicano3]

se transforme en un numero primo, asi eliminamos un monton de numeros. Pero ahora sabemos algo más, de la imposición de que la suma debe ser impar, y es que una de las edades debe ser multiplo de 2 ( es decir par) y la otra impar. por tanto en los factores debe haber un 2 elevado a n y los demás factores primos, pero lo importante es saber que este 2 elevadoa n se mueve como 1 solo, quiero decir que si por ejemplo los factores fuesen 2^1, 5 y 19 entonces las unicas posibilidades de suma (sigue)

[elrepublicano3]

el problema no es imposible. te explico como se resuelve. primero se sabe que las edades no pueden ser dos numeros primos, ya que como una es distinta de 1 si , las dos edades fuesen primos entonces Paulina sabria al instante cualdes son (ya que la descomposición factorial seria unica). Como samuel sabe que no lo sabe entonces la suma de las edades nunca se podra descomponer como dos sumandos primos, lo cual quiere decir que nunca puede ser par , ni un numero impar que al restarle dos (sigue)