Compactness and Stereographic Projection

Here the stereographic projection of the sphere to the plane is illustrated. Also a proof that the plane is not compact is shown:

Proof: Consider equally spaced points along a line. This is an infinite sequence without an accumulation point. This can not happen on a compact set. q.e.d.

Remark 1: The sphere is compact. Every infinite series on the sphere must therefore contain an accumulation point. Indeed this is the case for the preimage of points on a line.

Caution: This video does prove that the sphere is compact. For this one would have to consider ALL infinte sequences, not just one.

Remark2: The equally spaced points on the line are not shown.
(artistic freedom...)


This Video was produces for a topology seminar at the Leibniz Universitaet Hannover.

http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~fugru/?topologie_teil1

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[Boeserwolf93]

kann mir jemand in deutsch sagen, was uns das video bewiesen hat??

[bothmer]

Dies Video zeigt zunaechst dass die Ebene homeomorph zu einer Kugeloberflaeche ohne den "Nordpol" ist. Der Laserstrahl zeigt welche Punkte in der Ebene mit welchen Punkten auf der Kugel korrepondieren. Dann wird gezeigt die Ebene nicht kompakt ist. Tatsaechlich gibt es eine unendliche Folge von Punkten (z.B. solche mit gleichem Abstand auf einer Gerade) die keinen Haeufungspunkt hat. Die entsprechenden Punkte auf der Kugel haben einen Haeufungpunkt, naemlich den Nordpol.

[Boeserwolf93]

danke dass du dir die mühe gemacht hast, aber ich fürchte, dass das noch zu hoch für mich ist (bin erst in der 10.) zum beispiel weiss ich gar nicht was ich mir unter "kompakt" an dieser stelle vorzustellen habe. naja

[bothmer]

"Kompakt" ist tatsaechlich ein etwas schwieriger Begriff - wird ueblicher Weise in der Uni, 1.Semester eingefuehrt. Weist Du eventuell was ein Grenzwert ist? (Ist in der 10. glaube ich noch nicht dran, aber vielleicht weisst Du's ja trotzem...) Der Unterschied ist hier dass Punkte mit gleichem Abstand auf der Gerade keinen Grenzwert haben, aber die Bilder dieser Punkte auf der Kugel schon, naemlich den Nordpol.

[minifoo8]

Beautiful !

[bothmer]

Glad you like it!

[stunt2stun]

R>=0

[TheMexicanAzn]

On TheMexicanAzn scale it gets a 5 out of 5.

[thecommonsenseguy]

this is good shit man...very good for geologic applications.

[ErkDemon]

Agreed, the hexagon map on the sphere doesn't seem to correspond to the map on the plane.

We seem to be able to to traverse the height of the sphere in about twelve hexagon-steps, so the same number of steps should take us from a distance of zero to a distance of infinity.

But the plane is regularly tiled with hexagons, which means that it has an infinite number of them. So the number of hexagons on the plane isn't the same as the number on the sphere, and there's not a 1:1 correspondence.

[metrictensor3]

I like it very much. Maybe I'm making a mistake, but the hexagons on the sphere don't look correctly transformed to represent the projection. To me it looks like the density should be growing much faster towards the top of the sphere?

[redmoonx]

Awesome! tnx for uploading this!