es gilt ja" aus nicht stetigkeit folgt nicht differenzierbarkeit"
nun wenn man sich als beispiel diese zusammengesetzte funktion anschaut: 2x-3. für x>1 und 2x-4 x<1, dann ist klar, dass sie nicht stetig ist bei 1. trotzdem haben beide teilfunktionen in 1 die steigung 2, was nach der definition für differenzierbarkeit spricht. das aber widerspricht die obere aussage :(, oder habe ich was falsch verstanden???
@Vietnampenner Yep, falsch verstanden. An den Sprung kann man keine Tangente legen (außer eine vertikale). Einfach mal einen Punkt links und einen rechts nehmen und gucken, was mit der Gerade durch die beiden Punkte passiert. Dass die Ableitungen links und rechts gleich sind, hilft wegen des Sprungs nichts.
@K0nsumkind Ja, zweiseitig kann man da ja schlecht einen Grenzwert bilden. Man geht sogar so weit und sagt, dass eine Funktion an einer komplett isolierten Stelle im Definitionsbereich immer stetig ist (weil man da gar von keiner Seite einen Grenzwert bilden kann).
@zartoshtian021 Nein, eine stetige Funktion kann so viele Definitionslücken und Polstellen haben, wie sie will. Man kann sie nur nicht stetig dorthin fortsetzen. (Mir ist bewusst, dass manche Lehrer da was anderes erzählen. Aber wenn rationale Funktionen nicht stetig wären, würden die meisten Mathematiker das schwer irritierend finden.)
kann ich behaupten, dass solange eine Pollstelle aus dem Definitonsbereich raus genommen wird und somit gefiltert wird, dass diese Funktion dann eine stetige Funktion ist???
@zartoshtian021 Die x, an denen der Nenner einer rationalen Funktion null ist, (also insbesondere die Polstellen) sind sowieso nicht im Definitionsbereich dieser Funktion (Teilen durch 0). Für Mathematiker, die mal ansatzweise was von Topologie gehört haben, ist klar, dass jede rationale Funktion stetig ist (d.h. an jeder Stelle ihres Defeinitionsbereichs stetig ist). Leider gehören einige Lehrer und Schulbuchautoren nicht zu dieser Gruppe von Menschen.
@57HerseyYalan57 Die Division (x^n-1)/(x-1) geht auf, siehe mein Video zur geometrischen Reihe (Suchfunktion: WEH WEH WEH PUNKT j3L7h PUNKT de SCHRÄGSTRICH videos PUNKT html). Der Rest sollte dann klar sein.
@YoZZgAtLiii66 Hmm, der Zwischenwertsatz ist wieder so eine offensichtliche Sache, deren strenger Beweis recht abstrakt gerät. An der FH zeige ich so was ungern: Wenn etwas offensichtlich ist, warum es dann kompliziert beweisen? Beweisidee: Die Menge aller x, deren Funktionswerte kleiner oder gleich dem gesuchten Zwischenwert sind, hat ein Supremum s in [a,b]. Wegen der Stetigkeit von f kann f(s) weder größer noch kleiner als der gesuchte Zwischenwert sein.
@iAmThe3nd Oh, nein. Das ist eine Funktion, aber eine mit einem Sprung. Was man ins Koordinatensystem malt, ist der "Graph" der Funktion: alle Punkte (x|y), so dass y = f(x).
aber dann ist die floor-function nach dem Zwischensatz nicht stetig, denn die Funktionswerte zwischen f(x) und f(x+1) ( z.B. 1,5) werden ja nicht angenommen, oder? -> ich = anfänger ;)
@ixwix Genau, die Floor-Funktion ist nicht stetig. Das wäre anders, wenn man den Definitionsbereich der Floor-Funktion auf R\N einschränken würde. Dann wäre sie nur nicht stetig fortsetzbar (d.h. die Definitionslücken wären nicht stetig hebbar).
hm.., also je näher die punkte der 1 kommen, desto steiler wird die tangente, für x=1 müsste die steigung unendlich groß sein....
Vietnampenner 1 week ago
@Vietnampenner Genau. Also hilft einem die Steigung 2 links und rechts hier nichts, was die Differenzierbarkeit angeht.
JoernLoviscach 1 week ago
es gilt ja" aus nicht stetigkeit folgt nicht differenzierbarkeit"
nun wenn man sich als beispiel diese zusammengesetzte funktion anschaut: 2x-3. für x>1 und 2x-4 x<1, dann ist klar, dass sie nicht stetig ist bei 1. trotzdem haben beide teilfunktionen in 1 die steigung 2, was nach der definition für differenzierbarkeit spricht. das aber widerspricht die obere aussage :(, oder habe ich was falsch verstanden???
Vietnampenner 1 week ago
@Vietnampenner Yep, falsch verstanden. An den Sprung kann man keine Tangente legen (außer eine vertikale). Einfach mal einen Punkt links und einen rechts nehmen und gucken, was mit der Gerade durch die beiden Punkte passiert. Dass die Ableitungen links und rechts gleich sind, hilft wegen des Sprungs nichts.
JoernLoviscach 1 week ago
2:54 Ich dachte, man bräuchte den beidseitigen Grenzwert.
Heißt das, bei Endpunkten im Definitionsbereich reicht eine einseitige Stetigkeit aus?
K0nsumkind 1 month ago
@K0nsumkind Ja, zweiseitig kann man da ja schlecht einen Grenzwert bilden. Man geht sogar so weit und sagt, dass eine Funktion an einer komplett isolierten Stelle im Definitionsbereich immer stetig ist (weil man da gar von keiner Seite einen Grenzwert bilden kann).
JoernLoviscach 1 month ago
@JoernLoviscach Sehr gut, dann hab ich das soweit verstanden. Vielen Dank - weiter so. ;)
K0nsumkind 3 weeks ago
Vielen Dank für dieses aufschlussreiche Video.
Darf ich fragen, in welchem Programm du da die ganze Zeit über schreibst? Würde mich mal interessieren :-)
AAngelPoison 1 month ago
@AAngelPoison Zur Technik siehe vvvvvv j3L7h de/videotech.html
JoernLoviscach 1 month ago
This has been flagged as spam show
Wie kann ich behaupten, dass eine funktion Stetig ist, wenn die an X0 nicht definiert ist und somit eine Pollstelle hat?????
Stetigkeit muss doch absolut pollstellfrei sein oder nicht?!
zartoshtian021 1 month ago
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Wie kann ich behaupten, dass eine funktion Stetig ist, wenn die an X0 nicht definiert ist und somit eine Pollstelle hat?????
Stetigkeit muss doch absolut pollstellfrei sein oder nicht?!
zartoshtian021 1 month ago
Wie kann ich behaupten, dass eine funktion Stetig ist, wenn die an X0 nicht definiert ist und somit eine Pollstelle hat?????
Stetigkeit muss doch absolut pollstellfrei sein oder nicht?!
zartoshtian021 1 month ago
@zartoshtian021 Nein, eine stetige Funktion kann so viele Definitionslücken und Polstellen haben, wie sie will. Man kann sie nur nicht stetig dorthin fortsetzen. (Mir ist bewusst, dass manche Lehrer da was anderes erzählen. Aber wenn rationale Funktionen nicht stetig wären, würden die meisten Mathematiker das schwer irritierend finden.)
JoernLoviscach 1 month ago
@JoernLoviscach
hmmmmmmmm.............
kann ich behaupten, dass solange eine Pollstelle aus dem Definitonsbereich raus genommen wird und somit gefiltert wird, dass diese Funktion dann eine stetige Funktion ist???
zartoshtian021 1 month ago
@zartoshtian021 Die x, an denen der Nenner einer rationalen Funktion null ist, (also insbesondere die Polstellen) sind sowieso nicht im Definitionsbereich dieser Funktion (Teilen durch 0). Für Mathematiker, die mal ansatzweise was von Topologie gehört haben, ist klar, dass jede rationale Funktion stetig ist (d.h. an jeder Stelle ihres Defeinitionsbereichs stetig ist). Leider gehören einige Lehrer und Schulbuchautoren nicht zu dieser Gruppe von Menschen.
JoernLoviscach 1 month ago
@JoernLoviscach
achso. soso. Ich glaube, ich hab die Stetigkeit begriffen hehe.
zartoshtian021 1 month ago
hehe deine schrift ist klasse ;)
MrChitoast 2 months ago
@57HerseyYalan57 Die Division (x^n-1)/(x-1) geht auf, siehe mein Video zur geometrischen Reihe (Suchfunktion: WEH WEH WEH PUNKT j3L7h PUNKT de SCHRÄGSTRICH videos PUNKT html). Der Rest sollte dann klar sein.
JoernLoviscach 3 months ago
Wieder mal sehr interessant, der Beweis für den Zwischenwertsatz würde mich aber ebenfalls interessieren!
YoZZgAtLiii66 3 months ago
@YoZZgAtLiii66 Hmm, der Zwischenwertsatz ist wieder so eine offensichtliche Sache, deren strenger Beweis recht abstrakt gerät. An der FH zeige ich so was ungern: Wenn etwas offensichtlich ist, warum es dann kompliziert beweisen? Beweisidee: Die Menge aller x, deren Funktionswerte kleiner oder gleich dem gesuchten Zwischenwert sind, hat ein Supremum s in [a,b]. Wegen der Stetigkeit von f kann f(s) weder größer noch kleiner als der gesuchte Zwischenwert sein.
JoernLoviscach 3 months ago
Schönes Video!
Elvalith 5 months ago
Also habe ich bei 27 zwei Funktionen in einem Koordinatensystem oder was? :o
Ansonsten alles gut verstande, danke!
iAmThe3nd 9 months ago
@iAmThe3nd Oh, nein. Das ist eine Funktion, aber eine mit einem Sprung. Was man ins Koordinatensystem malt, ist der "Graph" der Funktion: alle Punkte (x|y), so dass y = f(x).
JoernLoviscach 9 months ago
@JoernLoviscach Oke danke, habs verstanden.
Weiter so ! (:
iAmThe3nd 9 months ago
Supper danke danke!
habte85 9 months ago
Ich schließe mich an.
Danke.
HRDrSELTSAM 11 months ago
Danke! Du hast mir sehr geholfen!
dunhill1000 1 year ago
Einfach nur: danke!
Kug4lbl1tz 1 year ago
aber dann ist die floor-function nach dem Zwischensatz nicht stetig, denn die Funktionswerte zwischen f(x) und f(x+1) ( z.B. 1,5) werden ja nicht angenommen, oder? -> ich = anfänger ;)
ixwix 1 year ago
@ixwix Genau, die Floor-Funktion ist nicht stetig. Das wäre anders, wenn man den Definitionsbereich der Floor-Funktion auf R\N einschränken würde. Dann wäre sie nur nicht stetig fortsetzbar (d.h. die Definitionslücken wären nicht stetig hebbar).
JoernLoviscach 1 year ago